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NOTE II.

d’où, en désignant par $\varphi$ la différence

$nt-\left(u_{1}+{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}\right),$

on a

$x={\frac {\varphi }{1-e\cos u_{1}}}.$

Pour que cette valeur de $x$ n’ait plus besoin de correction, il faut que $u_{1}$ soit déjà suffisamment approché, autrement on recommence le même calcul avec la valeur $u_{2}=u_{1}+x.$

Nous croyons inutile de développer les solutions proposées, dans ces derniers temps, par MM. Grunert, Wolfers, Karlinski, Annibal de Gasparis, etc. Le problème tel qu’il a été résolu par Gauss, n’offre pas assez de longueur dans les calculs à effectuer, pour qu’il me semble nécessaire de rappeler toutes ces ingénieuses solutions ; je me bornerai donc à présenter ici une méthode que j’ai donnée pour résoudre graphiquement la question ; cette méthode a été insérée dans le n^o 1404 des astronomische Nachrichten.

L’équation

(1)

$nt=u-e\sin u,$

dans laquelle nous rapportons tout au rayon, peut être considérée comme résultant des deux équations

(2)	$y={}$	$\sin u,$
(3)	$y={}$	$(u-nt){\frac {1}{e}}.$

Posons ${\frac {1}{e}}=\operatorname {tang} \psi \,;$ $\psi$ sera toujours plus grand que 45° et plus petit que 90.

L’équation (2) est celle d’une sinusoïde ; l’équation (3) est celle d’une droite coupant l’axe des $x$ en un point distant de l’origine de la quantité $nt,$ et inclinée sur cet axe de l’angle $\psi ,$ constant pour chaque planète, et qui dépend de l’excentricité.

Solution. — D’après cela, on construira, une fois pour toutes, la sinusoïde $\mathrm {OMK}$ (fig. 1), planche I, sur une grande feuille de papier divisée en millimètres. L’axe des $x$ sera gradué de 0 à 180° ou moins, et ces graduations seront écrites aussi, sur la courbe aux extrémités des ordonnées correspondantes.