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NOTES DU TRADUCTEUR.

mouvement de la planète (en n’ayant pas égard aux actions perturbatrices des autres planètes) sont :

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(1+\mu ){\frac {x}{r^{3}}}&=0,\\[0.75ex]{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(1+\mu ){\frac {y}{r^{3}}}&=0,\\[0.75ex]{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f(1+\mu ){\frac {z}{r^{3}}}&=0.\end{aligned}}$

De ces équations on déduit facilement :

1^o Que l’orbite est entièrement située dans un plan passant par le Soleil ;

2^o Que les aires décrites par le rayon vecteur et projetées sur l’un quelconque des plans de coordonnées sont proportionnelles aux temps employés à les décrire. On en conclut la loi des aires pour le rayon vecteur même parcourant l’orbite.

En désignant par $\mathrm {K}$ le double de l’aire décrite dans le plan de l’orbite, dans l’unité de temps, on trouve, en combinant le principe des forces vives avec les équations (1), les deux équations suivantes :

(2)

$dv=\pm {\frac {\mathrm {K} {\dfrac {dr}{r^{2}}}}{\sqrt {2\mathrm {H} +{\dfrac {2f(1+\mu )}{r}}-{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}}{r^{2}}}}}},$

(3)

$dt=\pm {\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} +{\dfrac {2f(1+\mu )}{r}}-{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}}{r^{2}}}}}},$

dans lesquelles $v$ est la longitude de la planète dans l’orbite, et $\mathrm {H}$ une constante introduite par l’intégration de l’équation des forces vives.

En intégrant l’équation (2), on obtient

(4)

$r={\frac {\dfrac {\mathrm {K} ^{2}}{f(1+\mu )}}{1+{\sqrt {1+{\dfrac {2\mathrm {HK} ^{2}}{f^{2}(1+\mu )^{2}}}}}.\cos(v-\pi )}},$

$\pi$ étant une constante arbitraire.