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DÉTERMINATION D’UNE ORBITE SATISFAISANT À PLUSIEURS OBSERVATIONS.

Laplace fait usage, pour la solution des équations linéaires, dont le nombre est plus grand que le nombre des inconnues, d’un autre principe qui avait déjà été proposé par le célèbre Boscovich, et qui est que les différences mêmes, mais toutes prises positivement, donnent une somme minimum. On peut facilement démontrer que le système des valeurs des inconnues qui est déduit de ce seul principe, doit nécessairement^[1] satisfaire exactement à un nombre d’équations des proposées égal à celui des inconnues, de manière que les autres équations doivent seulement être considérées en tant qu’elles peuvent aider à déterminer le choix : si donc l’équation $\mathrm {V} =\mathrm {M} ,$ par exemple, est au nombre de celles qui ne sont pas satisfaites, il n’y aurait rien à changer au système des valeurs trouvées d’après ce principe, quoiqu’on eût observé à la place de $\mathrm {M}$ une tout autre valeur $\mathrm {N} ,$ pourvu qu’en désignant par $n$ la valeur calculée, les différences $\mathrm {M} -n,$ et $\mathrm {N} -n,$ soient affectées du même signe. Au reste, l’illustre Laplace tempère en quelque sorte ce principe par l’adjonction d’une nouvelle condition ; il demande, en effet, que la somme même des différences, prises avec leurs signes, soit nulle. Il suit de là, que le nombre des équations exactement satisfaites est moindre d’une unité que le nombre des inconnues ; mais ce que nous venons de faire observer aura encore lieu pourvu qu’il y ait au moins deux inconnues.

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Revenons de ces recherches générales à notre but particulier, relativement auquel elles ont été entreprises. Avant qu’il soit permis de commencer la détermination la plus exacte de l’orbite d’après un plus grand nombre d’observations que celui qui est rigoureusement nécessaire, on doit déjà avoir une détermination approchée qui ne doit pas beaucoup s’écarter de toutes les observations données. Nous considérerons comme l’objet du problème, la détermination des corrections qu’il faut encore appliquer à ces éléments pour que l’accord soit obtenu le plus exactement. Puisqu’on peut supposer que ces corrections sont tellement petites qu’il est permis de négliger leurs carrés et leurs produits, les variations qu’en éprouvent les positions géocentriques calculées de l’astre pourront être déterminées par les

1. Excepté dans les cas spéciaux où la solution reste de quelque manière indéterminée.