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DÉTERMINATION D’UNE ORBITE SATISFAISANT À PLUSIEURS OBSERVATIONS.

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Dans ce but, de notre problème spécial nous nous élèverons à une recherche beaucoup plus générale et des plus fécondes dans toute application du calcul à la philosophie naturelle. Soient $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} ''$ des fonctions des quantités inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $s,\ldots$ etc, $\mu$ le nombre de ces fonctions, $\nu$ le nombre des inconnues, et supposons que par des observations directes on ait trouvé pour valeurs de ces fonctions $\mathrm {V} =\mathrm {M} ,$ $\mathrm {V} '\!=\mathrm {M} ',$ $\mathrm {V} ''\!=\mathrm {M} '',\ldots$ etc. En parlant d’une manière générale, la détermination des valeurs des inconnues constituera donc un problème indéterminé, déterminé ou plus que déterminé, selon que l’on aura $\mu <\nu ,$ $\mu =\nu ,$ ou $\mu >\nu$ ^[1].

Nous nous occuperons ici du dernier cas seulement, dans lequel, évidemment, la représentation exacte de toutes les observations serait seulement possible, dans le cas où toutes les observations seraient absolument exemptes d’erreur. Puisque par la nature des choses ceci ne peut avoir lieu, on devra regarder comme possible tout système de valeurs des quantités inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $s,\ldots$ etc., par lequel s’obtiendront les valeurs des fonctions $\mathrm {V} -\mathrm {M} ,$ $\mathrm {V} '\!-\mathrm {M} ',$ $\mathrm {V} ''\!-\mathrm {M} '',\ldots$ etc., renfermées dans les limites des erreurs qui peuvent être commises dans les observations, ce qui, cependant, ne doit nullement être compris comme impliquant que chacun de ces systèmes possibles doit jouir d’un égal degré de probabilité.

Supposons d’abord, dans toutes les observations, un état de choses tel qu’il n’y ait aucune raison pour supposer l’une moins exacte que l’autre, ou tel qu’on doive supposer des erreurs de même grandeur comme également probables dans chaque observation. La probabilité devant être attribuée à toute erreur $\Delta$ sera donc exprimée par une fonction de $\Delta ,$ que nous désignerons par $\varphi \Delta .$ Maintenant, quoiqu’il ne soit pas permis d’assigner d’une manière précise la forme de cette fonction, nous pouvons au moins affirmer que sa valeur doit devenir maximum pour $\Delta =0,$ avoir généralement la même valeur pour des

↑ Si, dans le troisième cas, les fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',$ etc., étaient établies de telle sorte que $p+1-\nu$ de ces fonctions, ou un plus grand nombre, puissent être considérées comme fonctions des autres, le problème, relativement à ces fonctions, serait encore plus que déterminé, mais indéterminé relativement aux quantités $p,$ $q,$ $r,$ $s,$ etc. ; c’est-à-dire, qu’il ne serait réellement pas possible de déterminer alors les valeurs de ces dernières quantités, quand même les valeurs des fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',$ etc., seraient données absolument exactes ; mais nous écarterons ce cas de notre recherche.

[1] Si, dans le troisième cas, les fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',$ etc., étaient établies de telle sorte que $p+1-\nu$ de ces fonctions, ou un plus grand nombre, puissent être considérées comme fonctions des autres, le problème, relativement à ces fonctions, serait encore plus que déterminé, mais indéterminé relativement aux quantités $p,$ $q,$ $r,$ $s,$ etc. ; c’est-à-dire, qu’il ne serait réellement pas possible de déterminer alors les valeurs de ces dernières quantités, quand même les valeurs des fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',$ etc., seraient données absolument exactes ; mais nous écarterons ce cas de notre recherche.

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