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DÉTERMINATION D’UNE ORBITE D’APRÈS QUATRE OBSERVATIONS.
(Équations V et VI écrites pour tenir sur une ligne, voir la page de discussion)
équations I, II. Au reste, les moyens ne manqueront pas, même à
l’analyste médiocrement exercé, pour abréger le calcul.
Dans ces opérations les quantités irrationnelles
sont facilement calculées, en introduisant les arcs
dont les tangentes sont respectivement
de là, il vient
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\sqrt {x'^{2}+a'^{2}}}&=r'&{}={}&{\frac {a'}{\sin z'}}&{}={}&{\frac {x'}{\cos z'}},\\[0.75ex]{\sqrt {x''^{2}+a''^{2}}}&=r''&{}={}&{\frac {a''}{\sin z''}}&{}={}&{\frac {x''}{\cos z''}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001eeeb9dbdd5ee08bd72ef8ea9fd4a1d4cedde5)
Ces arcs auxiliaires, qui doivent être pris entre 0 et 180° pour que
et
deviennent positifs, seront évidemment identiques avec les
arcs
d’où il est clair que de cette manière on connaîtra
non-seulement
’ et
mais aussi la position des points
et
Cette détermination des quantités
exige que
soient connues ; les quatre premières de ces quantités
s’obtiennent, par le fait, des données du problème, mais les quatre
suivantes dépendent de
et
Les quantités
ne pourront
pas encore être exactement déterminées ; cependant puisque
l’on a
III.
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IV.
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V.
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VI.
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aussitôt se présentent les valeurs approchées,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} '&={\frac {t''-t'}{t'-t}},&\mathrm {P} ''&={\frac {t''-t'}{t'''-t''}},\\\mathrm {Q} '&={\frac {1}{2}}k^{2}(t'-t)(t''-t'),&\mathrm {Q} ''&={\frac {1}{2}}k^{2}(t''-t')(t'''-t''),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401ab4bdc445ea84d594b7dc8d2fa2e38b14f647)
sur lesquelles sera basé le premier calcul.