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LIVRE I, SECTION I.
La dernière formule de l’article précédent, relative à
devient,
d’après cela,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {p\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}=p\left({\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+e}}+{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1-e}}\right)\\&={\frac {p}{1-e^{2}}}(1-e\cos \mathrm {E} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2969154442c19dc48f493700b0fc32435663a0c)
On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {dv}{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430cd1f5c5b5f8130cbcbe30cbe87cdb7c68cfca)
et, par suite,
![{\displaystyle dv={\frac {p\,d\mathrm {E} }{r{\sqrt {1-e^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23303c899fd4a0cf1f0f91e654d3317c427eb7c7)
d’où
![{\displaystyle r^{2}dv={\frac {r.p\,d\mathrm {E} }{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99afadeedc2b6de4fdf3f419a479bea45ab6670a)
et, en intégrant,
![{\displaystyle kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} )+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3386ad5fc4d3ab4bfdb79562a497dd81a8bb0bb)
constante.
Mais si nous considérons le moment où l’astre est à son périhélie,
on a
et par suite la constante nulle ; il vient ainsi, à
cause de
![{\displaystyle \mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ={\frac {kt{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{a^{\frac {3}{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711a7b039904d591a9a9528fbd549e7be36bd1c0)
Dans cette équation, l’angle auxiliaire
, que l’on nomme Anomalie excentrique, doit être exprimé en parties du rayon(*)[1]. Mais il
est évident que l’on peut conserver cet angle en degrés si
et
sont aussi exprimés de la même manière ; ces quantités seront exprimées en secondes d’arc si elles sont multipliées
par le nombre
Nous pouvons ne pas effectuer cette multiplication relativement à la dernière quantité, si nous exprimons
d’abord la quantité
en secondes, c’est-à-dire si à la place de la
valeur donnée ci-dessus nous posons
dont le logarithme
De cette manière la quantité exprimée par
- ↑ (*) Note wikisource : les parties du rayon sont des radians.