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LIVRE II, SECTION I.

centriques et aussi le second lieu héliocentrique de la Terre sont situés dans le même grand cercle.

Dans le premier cas, la position de l’un des grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A'B} ',$ $\mathrm {A''B} '',$ dans le second et le troisième la position du point $\mathrm {B} ^{\star }$ resteront indéterminées. Dans ces cas-là, les méthodes exposées ci-dessus, par lesquelles, en considérant les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ comme connues, nous avons appris à déterminer les lieux héliocentriques d’après les lieux géocentriques, perdent de leur efficacité ; on doit cependant faire ici une distinction essentielle qui est, que dans le premier cas ce défaut doit être attribué à la méthode seule, mais dans le second et le troisième à la nature même du problème ; dans le premier cas, cette détermination pourra donc certainement être effectuée, si l’on modifie convenablement la méthode, mais dans le second et le troisième elle sera absolument impossible, et les lieux héliocentriques resteront indéterminés. Il ne sera pas sans intérêt de développer en peu de mots ces relations ; mais il serait moins utile d’épuiser toutes les questions qui touchent à ce sujet, parce que la détermination exacte de l’orbite est impossible dans tous ces cas spéciaux où elle serait considérablement affectée par les plus petites erreurs d’observation. Le même défaut existera aussi toutes les fois que les observations se rapporteront, non en vérité exactement, mais de très-près à l’un de ces cas ; c’est pourquoi, il faut y avoir égard dans le choix des observations, et bien prendre garde de n’employer aucun lieu où l’astre se trouve en même temps dans le voisinage du nœud et de l’opposition ou de la conjonction, ni des observations telles que le corps céleste soit revenu, dans la dernière observation, à peu près dans la même position géocentrique qu’il avait occupée dans la première ; ni, enfin, les observations dans lesquelles le grand cercle mené du lieu héliocentrique moyen de la Terre au lieu géocentrique moyen du corps céleste forme un angle très-aigu avec la direction du mouvement géocentrique, et effleure presque le premier et le troisième lieu.

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Nous ferons trois subdivisions du premier cas :

I. Si le point $\mathrm {B}$ coïncide avec le point $\mathrm {A}$ ou avec le point opposé, $\delta$ sera égal à zéro ou à 180° ; $\gamma ,$ $\varepsilon ',$ $\varepsilon ''$ et les points $\mathrm {D} ',$ $\mathrm {D} ''$ seront indéterminés ; au contraire, $\gamma ',$ $\gamma '',$ $\varepsilon$ et les points $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {B} ^{\star }$ seront déterminés ; le point $\mathrm {C}$ coïncidera nécessairement avec $\mathrm {A} .$ Par des raisonnements