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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

deux valeurs égales de $r$ ; c’est pourquoi la ligne des apsides partage la section conique en deux parties égales.

III. Dans l’Ellipse, $r$ croît continuellement à partir de $v=0$, jusqu’à ce qu’il atteigne sa valeur maximum ${\frac {p}{1-e}},$ à l’Aphélie, pour $v=180^{\circ }\,;$ après l’aphélie le rayon décroît de la même manière qu’il avait augmenté précédemment, jusqu’à ce qu’il atteigne de nouveau la valeur périhélie pour $v=360^{\circ }.$ La ligne des apsides qui est terminée d’une part au périhélie, de l’autre à l’aphélie, est appelé le grand axe ; par suite, le demi-grand axe que l’on appelle aussi la distance moyenne est égale à ${\frac {p}{1-e^{2}}}\,;$ la distance du milieu de l’axe (du centre de l’ellipse) au foyer sera ${\frac {ep}{1-e^{2}}}=ea,$ en désignant par $a$ le demi-grand axe.

IV. Dans la parabole, au contraire, il n’y a pas à proprement parler d’aphélie, mais $r$ augmente au delà de toute limite à mesure que $v$ approche de plus en plus, soit de $+180^{\circ },$ soit de $-180^{\circ }.$ Pour $v=\pm 180^{\circ },$ la valeur de $r$ devient infinie, ce qui indique que la courbe ne coupe pas la ligne des apsides à l’opposé du périhélie. C’est pourquoi il n’y a pas lieu, dans ce cas, de parler du grand axe ni du centre de la courbe ; mais selon l’usage établi par les analystes, la valeur du grand axe est considérée comme infinie par extension des formules relatives à l’ellipse, et le centre de la courbe est situé à une distance infinie du foyer.

V. Dans l’hyperbole enfin, $v$ est compris entre des limites encore plus étroites, c’est-à-dire entre $v=-(180^{\circ }-\psi )$ et $v=+(180^{\circ }-\psi ),$ en désignant par $\psi$ l’angle dont le cosinus $={\frac {1}{e}}$. Quand $v$ approche en effet de ses limites, $r$ croît jusqu’à l’infini ; mais si l’on prenait pour $v$ l’une même de ces deux valeurs, $r$ deviendrait infini, ce qui indique que l’hyperbole ne peut pas être rencontrée par une droite faisant avec la ligne des apsides, soit au-dessus, soit au-dessous, un angle de $180^{\circ }-\psi .$ En dehors de ces valeurs, c’est-à-dire depuis $180^{\circ }-\psi$ jusqu’à $180^{\circ }+\psi ,$ notre formule assigne à $r$ une valeur négative ; la droite inclinée en effet même sous un tel angle sur la ligne des apsides ne rencontre pas, il est vrai, l’hyperbole, mais prolongée en arrière elle rencontre une autre partie de la courbe qui est entièrement séparée de la première partie et dont la convexité est tournée du côté opposé au foyer que le Soleil occupe. Mais dans notre recherche qui, ainsi