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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

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Le calcul des éléments — d’une part au moyen de $r',$ $r'',$ $2f$ et de l’intervalle de temps corrigé entre la seconde observation et la troisième, dont nous avons désigné par $\theta$ le produit par la quantité $k$ (art. 1), d’autre part, au moyen de $r,$ $r',$ $2f''$ et de l’intervalle de temps entre la première et la seconde observation, dont le produit par $k$ sera égal à $\theta ''$ — sera effectué, d’après la méthode exposée dans les art. 88-105, seulement jusqu’à la quantité désignée en cet endroit par $y,$ dont nous désignerons la valeur, par $\eta$ dans la première combinaison, par $\eta ''$ dans la seconde. Que l’on fasse ensuite,

${\frac {\theta ''\eta }{\theta \eta ''}}=\mathrm {P} ',\qquad {\frac {r'^{2}\theta \theta ''}{rr''\eta \eta ''\cos f.\cos f'.\cos f''}}=\mathrm {Q} ',$

et il est évident que si les valeurs des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ sur lesquelles tout le calcul jusque-là est établi, étaient les véritables, on devrait avoir $\mathrm {P} '=\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {Q} '=\mathrm {Q} .$ Réciproquement, on aperçoit facilement que si l’on trouve que $\mathrm {P} '=\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {Q} '=\mathrm {Q} ,$ le double calcul des éléments, conduit de part et d’autre jusqu’au bout, doit fournir des nombres entièrement égaux, par lesquels les trois observations seront donc exactement représentées, et le problème sera alors exactement résolu. Mais lorsque l’on n’a pas $\mathrm {P} '=\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} '=\mathrm {Q} ,$ on prendra $\mathrm {P} '-\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} '-\mathrm {Q}$ pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ pourvu que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ aient été pris pour $x$ et $y\,;$ il sera encore plus convenable de poser

${\begin{aligned}\log \mathrm {P} &=x,&\log \mathrm {Q} &=y,\\\log \mathrm {P} '-\log \mathrm {P} &=\mathrm {X} ,&\log \mathrm {Q} '-\log \mathrm {Q} &=\mathrm {Y} .\end{aligned}}$

Le calcul sera ensuite répété avec d’autres valeurs de $x$ et $y.$

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À proprement parler, il serait ici, de même que dans les dix méthodes données précédemment, réellement arbitraire de supposer telles ou telles valeurs pour $x$ et $y,$ dans la seconde hypothèse, pourvu qu’elles ne soient pas opposées aux conditions générales développées ci-dessus ; cependant, puisqu’il est évident que l’on doit considérer comme un grand avantage de pouvoir partir de valeurs plus exactes, on agirait, dans cette méthode, d’une manière peu prudente, si l’on adoptait presque inconsidérément les secondes va-