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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

{\begin{aligned}\sin f'\sin {\frac {1}{2}}(u''+u)&=\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon '\sin {\frac {1}{2}}(\zeta +\zeta ''),\\\sin f'\cos {\frac {1}{2}}(u''+u)&=\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon '\sin {\frac {1}{2}}(\zeta -\zeta ''),\\\cos f'\sin {\frac {1}{2}}(u''-u)&=\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon '\cos {\frac {1}{2}}(\zeta +\zeta ''),\\\sin f'\cos {\frac {1}{2}}(u''-u)&=\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon '\cos {\frac {1}{2}}(\zeta -\zeta '').\end{aligned}}

Les deux premières donneront ${\frac {1}{2}}(u''+u)$ et $\sin f',$ les deux dernières ${\frac {1}{2}}(u''-u)$ et $\cos f'\,;$ de $\sin f'$ et $\cos f'$ on aura $f'.$ On pourra négliger dans les premières hypothèses les angles ${\frac {1}{2}}(u''+u)$ et ${\frac {1}{2}}(u''-u),$ qui seront seulement employés, dans la dernière hypothèse, pour déterminer la situation du plan de l’orbite.

Exactement de la même manière, $f$ pourra se déduire de $\varepsilon ,$ $\mathrm {C'D}$ et $\mathrm {C''D} \,;$ et aussi $f'$ de $\varepsilon '',$ $\mathrm {CD} ''$ et $\mathrm {C'D} ''\,;$ mais à ce sujet, il sera beaucoup plus commode d’employer les formules suivantes :

{\begin{aligned}\sin 2f&=r\sin 2f'.{\frac {n}{n'r'}},\\\sin 2f''&=r''\sin 2f'.{\frac {n''}{n'r'}}\end{aligned}}

dans lesquelles les logarithmes des quantités ${\frac {n}{n'r'}},$ ${\frac {n''}{n'r'}}$ sont déjà donnés par les calculs précédents.

Enfin, le calcul entier trouve une nouvelle confirmation par cette considération que l’on doit avoir

2f+2f''=2f'\,;

si par hasard il existe quelque différence, elle ne sera certainement d’aucune importance, si toutes les opérations ont été faites avec le plus de soin possible. Quelquefois, cependant, le calcul étant effectué partout avec sept figures décimales, cette différence pourra s’élever à quelques dixièmes de seconde, que nous distribuerons le plus facilement, si l’on trouve la chose utile, entre $2f$ et $2f''$ de ma-