Parmi ces solutions, on trouve habituellement, outre la vraie, une autre dans laquelle diffère peu de soit en excès, soit en défaut ; ce phénomène est expliqué de la manière suivante. Le développement analytique de notre problème est basé sur cette seule condition que les trois positions du corps céleste dans l’espace, doivent se trouver sur les droites dont la situation est déterminée par le lieu absolu de la Terre et la position observée de l’astre. Maintenant, par la nature même de la question, ces positions doivent être évidemment situées aux points de ces droites, d’où la lumière arrive à la Terre. Mais les équations analytiques ne reconnaissent pas cette restriction, et elles doivent également embrasser tous les systèmes de lieux qui s’accordent réellement avec les lois de Képler, soit qu’ils se trouvent sur cette droite de ce côté-ci de la Terre, ou de celui-là, ou, enfin, qu’ils coïncident avec la Terre elle-même. Ce dernier cas satisfera déjà certainement notre problème puisque la Terre se meut d’après ces lois. De là il est évident, que les équations doivent comprendre la solution dans laquelle les points coïncident avec les points (en tant que nous négligions les très-petites variations du lieu elliptique de la Terre produites par les perturbations et les parallaxes). L’équation IV devra donc toujours admettre la solution si les vraies valeurs correspondant aux positions de la Terre sont adoptées pour et Mais, tant que les valeurs de ces quantités se trouvent très-peu différentes de celles-ci (ce qu’il est toujours permis de supposer, quand les intervalles de temps sont petits), parmi les solutions de l’équation IV, on doit nécessairement en trouver une qui est voisine de la valeur
Le plus souvent, en vérité, dans ce cas où l’équation IV admet trois solutions par le moyen de valeurs positives de la troisième de ces valeurs (outre la vraie et celle dont nous venons à l’instant de parler) donne une valeur de plus grande que et par suite est seulement possible analytiquement, mais physiquement est impossible ; il n’y aura donc alors aucune incertitude pour savoir laquelle adopter. Il peut cependant certainement arriver, que cette équation admette deux solutions convenables différentes, et par suite, qu’il soit permis de satisfaire à notre problème par deux orbites entièrement différentes. Mais, dans un tel cas, l’orbite véritable sera facilement distinguée de la fausse dès qu’il sera possible de soumettre à l’examen d’autres observations plus écartées.
