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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

il est évident que le défaut de la méthode proposée dans l’article précédent ne vient pas de ce que les quantités $n$ et $n''$ ont été supposées proportionnelles aux quantités $\theta$ et $\theta '',$ mais de ce que $n'$ avait en outre été posée proportionnelle à $\theta '.$ Car, de cette manière, on introduit, à la place du facteur ${\frac {n+n''}{n'}},$ la valeur moins exacte ${\frac {\theta +\theta ''}{\theta '}}=1,$ de laquelle la véritable valeur

$1+{\frac {\theta \theta ''}{2\eta \eta ''rr'r''\cos f\cos f'\cos f''}}$

diffère d’une quantité du second ordre, (art. 128).

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Puisque les cosinus des angles $f,\,f',\,f'',$ de même que les quantités $\eta ,\,\eta ''$ diffèrent de l’unité d’une quantité du second ordre, il est évident, que si à la place de

${\frac {n+n''}{n'}}$

on introduit la valeur approchée

$1+{\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}$

on commettra une erreur du quatrième ordre. Si donc, à la place de l’équation de l’art, 114, on prend la suivante

$a\delta '=b+{\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta '}}\left(1+{\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}\right),$

il rejaillira une erreur du second ordre dans la valeur de la distance $\delta '$ quand les observations extrêmes sont équidistantes de celles du milieu, ou du premier ordre dans les autres cas. Mais cette nouvelle forme de cette équation n’est pas propre à la détermination de $\delta '$ parce qu’elle contient les quantités $r,$ $r',$ $r''$ encore inconnues.

Maintenant, en parlant d’une manière générale, les quantités ${\frac {r}{r'}},\,{\frac {r''}{r'}}$ diffèrent de l’unité d’une quantité du premier ordre ; il en est de même du produit ${\frac {rr''}{r'^{2}}}.$ On s’aperçoit facilement que dans le cas spécial mentionné fréquemment, ce produit diffère de l’unité d’une