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LIVRE II, SECTION I.

sont du premier ordre ; mais de là il suit facilement, qu’une erreur du second ordre commise dans les valeurs des quantités ${\frac {n}{n'}},\,{\frac {n''}{n'}},$ produit une erreur de l’ordre zéro dans les valeurs des distances. C’est pourquoi, d’après la manière habituelle de s’exprimer, les distances se trouveraient alors affectées d’une erreur finie, même lorsque les intervalles seraient infiniment petits, et par conséquent, on ne pourrait réellement considérer ni ces distances ni les autres quantités qui s’en déduisent, comme étant approchées, et la méthode serait en opposition avec la seconde condition de l’article précédent.

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En posant, pour abréger,

${\text{(0.1.2)}}=a,\quad {\text{(0.I.2)}}\mathrm {D'} =-b,\quad {\text{(0.O.2)}}\mathrm {D} =+c,\quad {\text{(0.II.2)}}\mathrm {D''} =+d,$

de telle sorte que l’équation 10, art. 114, devienne

$a\delta '=b+c{\frac {n}{n'}}+d{\frac {n''}{n'}},$

les coefficients $c$ et $d$ seront réellement du premier ordre, mais on peut facilement démontrer que la différence $c-d$ doit se rapporter au second ordre. Or on déduit de là, que la valeur de la quantité

${\frac {cn+dn''}{n+n''}}$

obtenue par la supposition approchée que $n:n''=\theta :\theta ''$ est seulement affectée d’une erreur du quatrième ordre, et même du cinquième seulement lorsque l’observation moyenne est faite à intervalles égaux des observations extrêmes. Cette erreur est en effet,

${\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta +\theta ''}}-{\frac {cn+dn''}{n+n''}}={\frac {\theta \theta ''(d-c)(\eta ''-\eta )}{(\theta +\theta '')(\eta ''\theta +\eta \theta '')}}$

où le dénominateur est du second ordre, un des facteurs $\theta \theta ''(d-c)$ du numérateur, du quatrième, l’autre $(\eta ''-\eta )$ du second, ou, dans ce cas spécial, du troisième ordre. C’est pourquoi la première équation étant mise sous cette forme,

$a\delta '=b+{\frac {cn+dn''}{n+n''}}.{\frac {n+n''}{n'}},$