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LIVRE I, SECTION III.

nous concluons que $\cos f$ et $\sin {\frac {1}{2}}\delta$ doivent être affectés des mêmes signes, et par suite que $\delta$ doit être pris entre $0^{\circ }$ et $180^{\circ }$ ou entre $-180^{\circ }$ et $0^{\circ },$ selon que $\cos f$ sera positif ou négatif, c’est-à-dire selon que le mouvement héliocentrique $2f$ aura été plus petit ou plus grand que 180°. Il est en outre évident, que pour $2f=180^{\circ },$ $\delta$ doit nécessairement être nul. De cette manière $\delta$ est complètement déterminé. Mais la détermination de l’angle $\varepsilon$ reste nécessairement douteuse, de sorte que l’on obtient toujours pour le temps deux valeurs, dont on ne peut décider laquelle est la vraie, à moins que ce ne soit indiqué d’autre part. La raison de ce phénomène s’aperçoit facilement ; il est constant, en effet, que par deux points donnés on peut décrire deux ellipses différentes, ayant toutes deux leur foyer au même point donné et, en même temps, le même demi-grand axe^[1] ; mais le mouvement du premier lieu au second, dans ces ellipses, est évidemment effectué dans des temps inégaux.

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En désignant par $\chi$ un arc quelconque compris entre $-180^{\circ }$ et $+180^{\circ },$ et par $s$ le sinus de l’arc ${\frac {1}{2}}\chi ,$ on sait qu’on a

${\frac {1}{2}}\chi =s+{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{7}+\dots$

On a ensuite

${\frac {1}{2}}\sin \chi =s{\sqrt {1-s^{2}}}=s-{\frac {1}{2}}s^{3}-{\frac {1.1}{2.4}}s^{5}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}s^{7}-\mathrm {etc.} ,$

et par suite,

$\chi -\sin \chi =4\left({\frac {1}{3}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{7}+{\frac {1}{9}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{9}+\dots ,\,\mathrm {etc.} \right)$

Nous substituons successivement, dans cette série, à la place de $s$

${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{a}}},$  et  ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{a}}},$

1. En décrivant du premier lieu un cercle avec $2a-r$ pour rayon, et du second lieu un second cercle avec $2a-r',$ le second foyer de l’ellipse tombera évidemment à l’intersection de ces deux cercles. C’est pourquoi, comme généralement parlant, il y a toujours deux intersections, il en résultera deux ellipses différentes.