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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
C’est pourquoi, comme
tombe aussi entre les mêmes limites (si
en effet, atteignait 360° ou le dépassait, le mouvement autour du
Soleil, atteindrait ou surpasserait une révolution entière), on déduit
spontanément de l’équation précédente que
pourvu
que la corde soit considérée comme une quantité positive. Puisque,
ensuite, on a
![{\displaystyle r+r'=2a(1-e\cos g\cos \mathrm {G} )=2a(1-\cos g\cos h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e44b0aa18474c24624492e17b381f57bdc81a27)
il est évident que si l’on pose
on trouve
[1]
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[2]
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On a enfin,
![{\displaystyle kt=a^{\frac {3}{2}}(2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} )=a^{\frac {3}{2}}(2g-2\sin g\cos h)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404c1aac50da195ff04559a71d6bfabfb3aeeafc)
ou
[3]
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D’après les équations 1 et 2, les angles
et
pourront donc être
déterminés au moyen de
et
c’est pourquoi, au moyen
des mêmes quantités, le temps
pourra être déterminé à l’aide de
l’équation 3. On peut, si on le préfère, présenter ainsi cette formule :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&kt\,=&&a^{\frac {3}{2}}\left[\arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}-\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}\right.\\&&&\;\;\;-\left.\arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}+\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}\right].\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73070bda884d658d85a1569bd115ae37e1bcd81f)
Mais dans la détermination des angles
et
par leur cosinus, il
reste une incertitude qu’il convient d’examiner plus particulièrement.
Il est en vérité, évident de soi-même, que
doit tomber entre
et
et
entre
et
mais alors, ces deux angles semblent admettre une double détermination, et par suite le temps qui
en résulte, une quadruple. Nous avons cependant, de l’équation 5,
art. 88,
![{\displaystyle \cos f.{\sqrt {rr'}}=a(\cos g-\cos h)=2a\sin {\frac {1}{2}}\delta \sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c7ca1c5c036430a207b00fa44f03b6eed5e5f0)
maintenant,
est nécessairement une quantité positive, d’où