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LIVRE I, SECTION III.

développement plus étendu de cette question serait trop étranger notre sujet.

Si nous posons maintenant

${\cfrac {x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-\,\mathrm {etc.} ,}}}}}}}}=x-\xi$

on a

$\mathrm {X} ={\frac {1}{{\dfrac {3}{4}}-{\dfrac {9}{10}}(x-\xi )}},$  et  $\xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }},$

ou

$\xi ={\frac {\sin ^{2}g-{\dfrac {3}{4}}(2g-\sin 2g)\left(1-{\dfrac {6}{5}}\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)}{{\dfrac {9}{10}}(2g-\sin 2g)}}.$

Le numérateur de cette expression est une quantité du septième ordre, le dénominateur du troisième ordre, et par suite $\xi$ du quatrième, pourvu que $g$ soit considéré comme une quantité du premier ordre, ou $x$ comme une quantité du second ordre. On conclut de là que cette dernière formule n’est pas convenable pour la détermination numérique exacte de $\xi ,$ toutes les fois que $g$ n’exprime pas un angle très-considérable ; mais alors, les formules suivantes sont convenablement employées, formules qui ne diffèrent l’une de l’autre que par le changement des numérateurs dans les coefficients fractions, et dont la première se déduit facilement au moyen de la valeur supposée de $x-\xi$^[1].

1. La déduction de cette dernière formule suppose quelques transformations moins évidentes et qui seront expliquées dans une autre occasion.