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LIVRE I, SECTION III.
puissances croissantes de
Le numérateur de cette expression
que nous désignons par
devient
![{\displaystyle ={\frac {32}{3}}\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-{\frac {16}{5}}\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g-{\frac {4}{7}}\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g-\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb13cac84aa72bdcf084f190be13bc42011895f)
et le dénominateur
![{\displaystyle =8\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-12\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g+3\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a488cc4e2eef709c114c51f96489f672670e2b1f)
d’où
prend la forme
![{\displaystyle {\frac {4}{3}}+{\frac {8}{5}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g+{\frac {64}{35}}\sin ^{4}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38fe257810887383914ca9d1af4c53ee0d2db85)
Mais pour mettre en évidence la loi des coefficients de cette série,
différentions l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} \sin ^{3}g=2g-\sin 2g\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b2ec09097ca5534b6102210bce4edf638f80bc)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle 3\mathrm {X} \cos g\sin ^{2}g+\sin ^{3}g{\frac {d\mathrm {X} }{dg}}=2-2\cos 2g=4\sin ^{2}g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc731d0c64f414e0cb6f51ece49d409df6eda80)
En posant en outre
![{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {1}{2}}g=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e68b69763d329803dcf712829fa433aed412374)
on a
![{\displaystyle {\frac {dx}{dg}}={\frac {1}{2}}\sin g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36b51e3b89c2499bc8fc02e70fa7acfd0961deb)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\frac {8-6\mathrm {X} \cos g}{\sin ^{2}g}}={\frac {4-3\mathrm {X} (1-2x)}{2x(1-x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4e1e2ccb2426d850a5be6c08cf7f34b8b0c476)
et par conséquent
![{\displaystyle (2x-2x^{2}){\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=4-(3-6x)\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c387cf12b8ef9b4035e5eb0c2084a0eca6a50b)
Si donc, nous posons
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {4}{3}}(1+\alpha x+\beta x^{2}+\gamma x^{3}+\delta x^{4}+\dots \mathrm {etc.} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60445c579f475de3d3e5ebb1a377b7d1d49a6ddd)
nous obtenons l’équation