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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
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Supposons enfin, que nous connaissions les trois rayons vecteurs
,
qui font, avec la droite menée arbitrairement par le Soleil
dans le plan de l’orbite, les angles
Nous aurons alors, en
conservant les mêmes notations, les équations (I) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\\{\frac {p}{r''}}&=1+e\cos(\mathrm {N} ''-\Pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215f13155515e73df21d82bfe92c7c7c7692830a)
qui permettront d’obtenir
,
,
de plusieurs manières. Si l’on veut
calculer la quantité
avant les autres, on doit multiplier les trois
équations (I) respectivement par
et l’on aura, d’après le lemme 1, art. 78, en ajoutant
les produits,
![{\displaystyle p={\frac {\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{{\dfrac {1}{r}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-{\dfrac {1}{r'}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+{\dfrac {1}{r''}}\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05abcf5d9bed8f983aeb4019e952f1dbd3e02fd)
.
Cette expression mérite d’être considérée plus attentivement. Le numérateur devient évidemment,
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''&-\mathrm {N} ')\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\\&\quad -2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\mathrm {N} \right)\\&=4\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c901656cc111c2713840635c72e65b78738773)
En posant, ensuite,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}r'r''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} ')&{}={}&n,\\rr''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n',\\rr'&\sin(\mathrm {N} '&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n'',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23da066627a30ad26e73d21f85b9ea0e8e3af0a3)
il est évident que
,
,
sont les aires des triangles compris entre le second rayon vecteur et le troisième, entre le premier et
le troisième, entre le premier et le second. De là on apercevra facilement, dans la nouvelle formule
![{\displaystyle p={\frac {4\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).rr'r''}{n-n'+n''}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c3f3e15b3d7f065f6cffaee1b3892ea647dd93)