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LIVRE I, SECTION III.
L’angle
étant donc déterminé par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c38b28a1208c9253af02f6952e9df5af07368c)
,
on a aussitôt
![{\displaystyle e=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\cos(\mathrm {A} -\Pi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8be5c3512565c91e4119257b2b9b3d5534f7c6b)
.
Le calcul du logarithme de l’expression
pourra se simplifier
par une méthode déjà souvent expliquée.
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Si l’excentricité est donnée, on trouve l’angle
par l’équation
![{\displaystyle \cos(\mathrm {A} -\Pi )=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{e\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a62d4d3110b19f78771471c70892722c90f9bed)
,
après que l’angle auxiliaire
a été déterminé par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c38b28a1208c9253af02f6952e9df5af07368c)
.
L’ambiguïté qui existe dans la détermination de l’angle
, par
son cosinus, résulte de la nature du problème, de manière qu’on
peut satisfaire à la question par deux solutions différentes ; il faudra
décider, d’autre part, laquelle devra être adoptée et laquelle rejetée ;
dans ce but, la valeur au moins approchée de
devra déjà être
connue. — Une fois
trouvé, on calculera
par les formules
![{\displaystyle p=r\left[1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi )\right]=r'\left[1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb66f21c0ebf4d1f6d58b083e096c4bff2bdac63)
,
ou par celle-ci :
![{\displaystyle p={\frac {2rr'e\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -\Pi \right)}{r'-r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a546c8c0e0c0db150d03f651415b7299590a6e)