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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
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Si l’angle
est donné,
et
seront déterminés au moyen des
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {rr'\left[\cos(\mathrm {N} -\Pi )-\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\\e&={\frac {r'-r}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a192cccd6e7bb4547d29b8c3ddf1f7eee5114e)
On peut réduire le dénominateur commun dans ces formules, à la
forme
de telle sorte que
et
soient indépendantes
de
En désignant en effet par
un angle arbitraire, nous avons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-&{}r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&=&\\{}&{\big [}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\cos(\mathrm {H} -\Pi )\\-{}&{\big [}r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\sin(\mathrm {H} -\Pi ),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c089c86750d560f11593c041b4cc2c1fa223f857)
et par suite,
![{\displaystyle =a\cos(\mathrm {A} -\Pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcf4d8563c093d30ca8b9b7179cf26c2eef021b)
,
si
et
sont déterminées par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\\r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\sin(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677e4ad13163d8a399bdd16f931a55849551a519)
De cette manière il vient.
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {2rr'\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} +{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}},\\e&={\frac {r'-r}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5957fa0db645564ecd50d99b52e5d6bc5014c5)
Ces formules sont principalement commodes toutes les fois que
et
sont calculés pour plusieurs valeurs de
ne
changeant pas. — Comme pour le calcul des quantités auxiliaires
il est permis de prendre l’angle
arbitrairement, on pourra alors
poser
d’après quoi les formules se changent en
celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(r'-r)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\cos \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right),\\(r+r')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\sin \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d24edd75373da78a2c9de02c51ba68c6748da14)