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LIVRE I, SECTION III.
y ait assez de données pour pouvoir former trois équations indépendantes les unes des autres. Tout rayon vecteur donné en grandeur et en position fournit une équation ; c’est pourquoi trois rayons
donnés en grandeur et en position sont nécessaires pour la détermination d’une orbite. Mais si l’on en a deux seulement, un élément
même doit être déjà donné, ou au moins quelque autre quantité à
l’aide de laquelle il soit permis d’établir une troisième équation. De
là surgit une variété de problèmes que nous traiterons maintenant
successivement.
Soient
,
deux rayons vecteurs qui font avec une droite arbitraire menée par le Soleil, dans le plan de l’orbite, les angles
,
selon la direction du mouvement ; soit ensuite
l’angle que fait,
avec la même droite, le rayon vecteur mené au périhélie, de telle
sorte que les anomalies vraies
,
répondent aux rayons
vecteurs
,
; soient enfin
l’excentricité,
le demi-paramètre. On
obtient alors les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6eac07042aec8d20565015f282ff8a792f86d5)
desquelles, si l’une des quantités
,
,
est en outre donnée, on
pourra déterminer les deux autres.
Supposons d’abord que le demi-paramètre
soit donné, et il
est évident que la détermination des quantités
au moyen des
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}e\cos(\mathrm {N} -\Pi )&={\frac {p}{r}}-1,\\e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&={\frac {p}{r'}}-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f0613b471585d0bfb07b12d0d20fe030cf2d32)
peut s’effectuer d’après la règle du lemme III de l’article précédent.
Nous avons donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} (\mathrm {N} -\Pi )=\operatorname {cotang} (\mathrm {N} '-\mathrm {N} )-{\frac {r(p-r')}{r'(p-r)\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}},\\\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)={\frac {(r'-r)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{r'+r-{\dfrac {2rr'}{p}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c09a3b42a4131d9b27673d5ef5797795586005b)