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LIVRE I, SECTION III.

y ait assez de données pour pouvoir former trois équations indépendantes les unes des autres. Tout rayon vecteur donné en grandeur et en position fournit une équation ; c’est pourquoi trois rayons donnés en grandeur et en position sont nécessaires pour la détermination d’une orbite. Mais si l’on en a deux seulement, un élément même doit être déjà donné, ou au moins quelque autre quantité à l’aide de laquelle il soit permis d’établir une troisième équation. De là surgit une variété de problèmes que nous traiterons maintenant successivement.

Soient $r$ , $r'$ deux rayons vecteurs qui font avec une droite arbitraire menée par le Soleil, dans le plan de l’orbite, les angles $\mathrm {N}$ , $\mathrm {N} '$ selon la direction du mouvement ; soit ensuite $\Pi$ l’angle que fait, avec la même droite, le rayon vecteur mené au périhélie, de telle sorte que les anomalies vraies $\mathrm {N} -\Pi$ , $\mathrm {N} '-\Pi$ répondent aux rayons vecteurs $r$ , $r'$ ; soient enfin $e$ l’excentricité, $p$ le demi-paramètre. On obtient alors les équations

{\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\end{aligned}}

desquelles, si l’une des quantités $p$ , $e$ , $\Pi$ est en outre donnée, on pourra déterminer les deux autres.

Supposons d’abord que le demi-paramètre $p$ soit donné, et il est évident que la détermination des quantités $e,$ $\Pi ,$ au moyen des équations

{\begin{aligned}e\cos(\mathrm {N} -\Pi )&={\frac {p}{r}}-1,\\e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&={\frac {p}{r'}}-1,\end{aligned}}

peut s’effectuer d’après la règle du lemme III de l’article précédent. Nous avons donc

{\begin{aligned}\operatorname {tang} (\mathrm {N} -\Pi )=\operatorname {cotang} (\mathrm {N} '-\mathrm {N} )-{\frac {r(p-r')}{r'(p-r)\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}},\\\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)={\frac {(r'-r)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{r'+r-{\dfrac {2rr'}{p}}}}.\end{aligned}}