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C.-F. GAUSS

par $\mathrm {A} ,\ \mathrm {B} ,\ \mathrm {C} ,\ \mathrm {A'} ,\ \mathrm {B'} ,\ \mathrm {C'} .$ Les deux expressions seront égales entr’elles lorsque la proportionnalité en question a lieu, et la seconde condition est par conséquent déjà comprise dans la première, ce qu’un instant de réflexion rend évident.

L’expression analytique de la condition de notre problème est donc la suivante

${\frac {\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\ =\ {\frac {\mathrm {A} \mathrm {A} '+\mathrm {B} \mathrm {B} '+\mathrm {C} \mathrm {C} '}{aa'+bb'+cc'}}\ =\ {\frac {\mathrm {A} '^{2}+\mathrm {B} '^{2}+\mathrm {C} '^{2}}{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}}$

et ceci doit être une fonction finie de $t$ et $u$ que nous poserons $=m^{2}.$ Alors $m$ exprime le rapport suivant lequel les grandeurs linéaires sur la première surface sont augmentées ou diminuées dans leur représentation sur la seconde, [selon que $m$ est plus grand ou plus petit que $1$]. Ce rapport sera, en général, différent suivant les lieux. Au cas particulier où m est constant il y aura similitude complète même dans les parties finies et, lorsqu’en outre $m=1,$ l’égalité parfaite aura lieu, et chacune des surfaces sera applicable sur l’autre.

V

Posant pour abréger

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})dt^{2}+2(aa'+bb'+cc')dtdu+(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})du^{2}=\omega ,$

nous remarquons que l’équation différentielle $\omega =0$ admettra deux intégrales. En effet si l’on décompose le trinôme $\omega$ en deux facteurs, linéaires par rapport à $dt$ et $du,$ l’un ou l’autre doit être $=0,$ ce qui donnera deux intégrales différentes. L’une des intégrales correspondra à l’équation

$0=(a^{2}+b^{2}+c^{2})dt+$

$+\left[aa'+bb'+cc'+i{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})-(aa'+bb'+cc')^{2}}}\right]du$