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REPRÉSENTATION CONFORME

La condition prescrite exige premièrement que toutes les lignes infiniment petites issues d’un point de la première surface et situées sur cette surface soient proportionnelles aux lignes correspondantes sur la deuxième surface, et deuxièmement que les premières lignes en question comprennent entre elles les mêmes angles que les secondes.

Un tel élément linéaire sur la première surface a pour expression

${\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})dt^{2}+(aa'+bb'+cc')dtdu+(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})du^{2}}},$

et l’élément correspondant sur la deuxième

${\sqrt {\mathrm {\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right)} dt^{2}+\mathrm {\left(AA'+BB'+CC'\right)} dtdu+\mathrm {\left(A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}\right)} du^{2}}}.$

Si ces deux éléments doivent être dans un rapport déterminé, quels que soient $dt$ et $du,$ les trois quantités

$a^{2}+b^{2}+c^{2},\qquad aa'+bb'+cc',\qquad a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}$

doivent évidemment être respectivement proportionnelles aux trois suivantes

$\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2},\qquad AA'+BB'+CC',\qquad A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}} .$

Si aux extrémités d’un second élément sur la première surface correspondent les valeurs

$t,u\quad {\text{et}}\quad t+\delta t,\ u+\delta u,$

le cosinus de l’angle que fait cet élément avec le premier est

${\frac {(adt+a'du)(a\delta t+a'\delta u)+(bdt+b'du)(b\delta t+b'\delta u)+(cdt+c'du)(c\delta t+c'\delta u)}{\sqrt {\left[(adt+a'du)^{2}+(bdt+b'du)^{2}+(cdt+c'du)^{2}\right]\left[(a\delta t+a'\delta u)^{2}+(b\delta t+b'\delta u)^{2}+(c\delta t+c'\delta u)^{2}\right]}}},$

et pour le cosinus de l’angle compris entre les éléments correspondants sur la deuxième surface on obtient une expression toute pareille, en remplaçant seulement $a,\ b,\ c,\ a',\ b',\ c'$