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C.-F. GAUSS

III

Représenter [abbilden] la première surface sur la deuxième c’est établir une loi suivant laquelle à chaque point de la première surface doit correspondre un point déterminé de la seconde. On y arrive en posant que $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ sont égales à des fonctions déterminées des deux variables $t$ et $u.$ Si l’on veut que la représentation satisfasse à certaines conditions, ces fonctions ne peuvent plus être arbitraires. Comme alors $\mathrm {X} ,\ \mathrm {Y} ,\ \mathrm {Z}$ deviennent aussi des fonctions de $t$ et de $u,$ ces fonctions, outre la condition que prescrit la nature de la deuxième surface, doivent encore satisfaire à celles qui doivent être remplies dans la représentation.

IV

Le problème proposé par la Société Royale des Sciences exige que la représentation soit semblable à l’original dans les parties infiniment petites. Il s’agit en premier lieu d’exprimer analytiquement cette condition.

De la différentiation des fonctions de $t,\ u$ par lesquelles sont exprimés $x,\ y,\ z,\ \mathrm {X} ,\ \mathrm {Y} ,\ \mathrm {Z}$ on peut tirer les équations suivantes :

${\begin{alignedat}{3}dx&=adt&&+a'du,\\dy&=bdt&&+b'du,\\dz&=cdt&&+c'du,\\d\mathrm {X} &=\mathrm {A} dt&&+\mathrm {A'} du,\\d\mathrm {Y} &=\mathrm {B} dt&&+\mathrm {B'} du,\\d\mathrm {Z} &=\mathrm {C} dt&&+\mathrm {C'} du,\end{alignedat}}$