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REPRÉSENTATION CONFORME

Art. XIV. — Par fonction uniforme Gauss entend ce que l’on nomme aujourd’hui le plus souvent fonction univoque.

Dans la comparaison des représentations 3 et 4, on reconnaît que la disposition semblable ou inverse dépend respectivement du signe positif ou négatif de la quantité ${\frac {\partial p}{\partial t}}{\frac {\partial q}{\partial u}}-{\frac {\partial p}{\partial u}}{\frac {\partial q}{\partial t}}$ au moyen de la considération suivante.

Dans la comparaison des représentations 2 et 3, la disposition dépend du signe de l’expression $ab'-ba'.$ Si l’on passe maintenant à la comparaison entre 3 et 4, à la place de $x,\ y,$ il n’y a qu’à mettre tout simplement $p,\ q.$ Par conséquent au lieu de ${\frac {\partial x}{\partial t}},\ {\frac {\partial x}{\partial u}},\ {\frac {\partial y}{\partial t}},\ {\frac {\partial y}{\partial u}},$ c’est à dire (voir article IV) au lieu de $a,\ a',\ b,\ b',$ on doit prendre ${\frac {\partial p}{\partial t}},\ {\frac {\partial p}{\partial u}},\ {\frac {\partial q}{\partial t}},\ {\frac {\partial q}{\partial u}}.$

XIV. (Démonstration des deux dernières formules de cet article, données par Gauss sans démonstration),

En premier lieu, d’après l’article V, on a

${\begin{alignedat}{3}&\omega &&=&&(a^{2}+b^{2}+c^{2})dt^{2}+2(aa'+bb'+cc')dtdu+(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})du^{2}\\&&&=&&n(dp^{2}+dq^{2})=n\left[\left({\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial u}}du\right)^{2}+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}dt+{\frac {\partial q}{\partial u}}du\right)^{2}\right].\end{alignedat}}$

Comme cette équation a lieu pour $dt,\ du$ quelconques, on a

${\begin{alignedat}{3}&a^{2}&&+b^{2}&&+c^{2}&&=n\ \left[\left({\frac {\partial p}{\partial t}}\right)^{2}\right.&&+\left.\left({\frac {\partial q}{\partial t}}\right)^{2}\right],\\&a'^{2}&&+b'^{2}&&+c'^{2}&&=n\ \left[\left({\frac {\partial p}{\partial u}}\right)^{2}\right.&&+\left.\left({\frac {\partial q}{\partial t}}\right)^{2}\right],\\&aa'&&+bb'&&+cc'&&=n\ \left[{\frac {\partial p}{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial u}}\right.&&+\left.{\frac {\partial q}{\partial t}}{\frac {\partial q}{\partial u}}\right],\end{alignedat}}$

On a par conséquent

(I)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})-(aa'+bb'+cc')^{2}\\&=n^{2}\left\{\left[\left({\frac {\partial p}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}\right)^{2}\right]\left[\left({\frac {\partial p}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial q}{\partial u}}\right)^{2}\right]\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\left[{\frac {\partial p}{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial u}}+{\frac {\partial q}{\partial t}}{\frac {\partial q}{\partial u}}\right]^{2}\right\}\\&=n^{2}\left[{\frac {\partial p}{\partial t}}{\frac {\partial q}{\partial u}}-{\frac {\partial q}{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial u}}\right]^{2}.\end{aligned}}\right.$