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C.-F. GAUSS

Art. XIII. — Dans ses recherches sur la géodésie Gauss prend pour $f(v)$ la forme

$f(v)=av-i\log k$

Art. XIII (fin). — Relativement à la série pour $\log m,$ remarquons ceci :

La formule

${\frac {dm}{m}}={\frac {(1-\varepsilon ^{2})dw}{\sin w(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w)}}(\cos \mathrm {U} -\cos w)$

donne ${\frac {d\log m}{dw}}\ ;$ la formule précédente pour ${\frac {d\mathrm {U} }{\sin \mathrm {U} }}$ donne ensuite ${\frac {dw}{d\mathrm {U} }}.$ On tire de ces deux formules

${\frac {d\log m}{d\cos \mathrm {U} }}={\frac {-(\cos \mathrm {U} -\cos w)}{\sin ^{2}\mathrm {U} }}$

En différentiant successivement, on obtient

${\frac {d^{2}\log m}{(d\cos \mathrm {U} )^{2}}},\qquad {\frac {d^{3}\log m}{(d\cos \mathrm {U} )^{3}}},\qquad {\text{etc.}}$

Si l’on fait $\mathrm {U=W} ,$ après avoir effectué les différentiations, on a aussi $w=\mathrm {W} ,$ d’où

$\left[{\frac {d\log m}{d\cos \mathrm {U} }}\right]_{\cos \mathrm {\mathrm {U} } =\cos \mathrm {W} }=0,\qquad \left[{\frac {d^{2}\log m}{(d\cos \mathrm {U} )^{2}}}\right]_{\cos \mathrm {\mathrm {U} } =\cos \mathrm {W} }={\frac {\varepsilon ^{2}}{1-\varepsilon ^{2}}},$

$\left[{\frac {d^{3}\log m}{(d\cos \mathrm {U} )^{3}}}\right]_{\cos \mathrm {\mathrm {U} } =\cos \mathrm {W} }={\frac {-4\varepsilon ^{4}\cos \mathrm {W} }{(1-\varepsilon ^{2})^{3}}}.$

La valeur prise par Gauss pour l’aplatissement, à savoir ${\frac {1}{303}},$ est un peu trop petite d’après les nouvelles mesures. Avec la valeur de Gauss ${\frac {a-b}{a}}={\frac {1}{303}}$ on a $\varepsilon ^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}={\frac {2}{303}}.$