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C.-F. GAUSS

sentations 4 et 5, nous pouvons nous en tenir à l’analyse de l’Article V, qui montre bien clairement qu’elles ont dans les parties infiniment petites une disposition semblable ou inverse, selon que l’on choisit la première ou la seconde solution, c’est à dire selon que l’on a posé

$\mathrm {P} +i\mathrm {Q} =f(p+iq)\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {P} -i\mathrm {Q} =f_{1}(p-iq)$

ou

$\mathrm {P} +i\mathrm {Q} =f(p-iq)\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {P} -i\mathrm {Q} =f_{1}(p+iq).$

De tout cela nous concluons maintenant que lorsque la représentation sur la surface dont l’équation est $\Psi =0$ doit être non seulement semblable en les parties infiniment petites à l’original dont l’équation est $\psi =0,$ mais encore semblablement disposée, l’on doit avoir égard au nombre des quantités négatives qui se présentent parmi les quatre suivantes

$\qquad {\frac {ab'-ba'}{h}},\qquad \qquad {\frac {\partial p}{\partial t}}{\frac {\partial q}{\partial u}}-{\frac {\partial p}{\partial u}}{\frac {\partial q}{\partial t}},$

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \mathrm {T} }}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \mathrm {U} }}-{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \mathrm {U} }}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \mathrm {T} }},\qquad {\frac {\mathrm {AB'-BA'} }{\mathrm {H} }}.$

Si ce dernier nombre est nul ou pair, on devra choisir la première solution ; si parmi ces quantités une ou trois sont négatives on devra choisir la seconde solution. Pour un choix opposé l’on trouvera toujours la similitude inverse.

D’ailleurs on peut encore démontrer, si l’on désigne respectivement les quatre quantités précédentes par $r,\ s,\ \mathrm {S} ,\ \mathrm {R} ,$ que l’on a toujours

${\frac {r{\sqrt {e^{2}+g^{2}+h^{2}}}}{s}}=\pm n,\qquad {\frac {\mathrm {R} {\sqrt {\mathrm {E} ^{2}+\mathrm {G} ^{2}+\mathrm {H} ^{2}}}}{\mathrm {S} }}=\pm \mathrm {N} ,$