Page:Gauss - Représenter les parties d'une surface donnée sur une autre surface donnée, traduction Laugel, 1915.djvu/34

29

REPRÉSENTATION CONFORME

rieurs et inférieurs dépend des valeurs positives ou négatives de $\psi$ et $\Psi$ ainsi qu’il a été convenu plus haut.

Et d’abord il est clair qu’en chaque point de la première surface où, pour $x$ et $y$ invariables, on passe sur le côté supérieur par un accroissement positif de $z,$ la représentation sur 2 sera semblablement placée à celle sur 1. C’est ce qui arrivera par conséquent évidemment partout où $h$ est positif, et pour $h$ négatif le contraire se présentera, et les représentations seront alors situées inversement.

De même les représentations sur 7 et 8 seront semblablement ou inversement situées selon que $\mathrm {H}$ est positif ou négatif.

Pour comparer entr’elles les représentations 2 et 3, sur la première soit ds la longueur d’une ligne infiniment petite menée du point dont les coordonnées sont $x,\ y$ à un autre point dont les coordonnées sont $x+dx,\ y+dy,$ et soit $l$ l’angle que fait cette ligne avec l’axe des abscisses compté dans le sens suivant lequel on passe de l’axe des $x$ à l’axe des $y,$ en sorte que $dx=ds\cos l,\ dy=ds\sin l.$ Sur la représentation 3, soit $d\sigma$ la longueur de la ligne qui correspond à dsy et soit $\lambda$ l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, compté comme précédemment, en sorte que $dt=d\sigma \cos \lambda ,\ du=d\sigma \sin \lambda .$

On a par conséquent, avec les notations de l’Article IV,

${\begin{alignedat}{3}&ds\cos l&&=\ d\sigma (a\cos \lambda +a'\sin \lambda ),\\&ds\sin l&&=\ d\sigma (b\cos \lambda +b'\sin \lambda ),\end{alignedat}}$

et par suite

$\operatorname {tang} l={\frac {b\cos \lambda +b'\sin \lambda }{a\cos \lambda +a'\sin \lambda }}.$

Si l’on regarde maintenant $x$ et $y$ comme constants et $l,\lambda$