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C.-F. GAUSS

sont les suivants

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {log\ hyp} m=&&&&\log \left({\frac {A}{a}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\mathrm {W} }}\right)\\&&&+&&{\frac {\varepsilon ^{2}}{2(1-\varepsilon ^{2})}}(\cos \mathrm {U} -\cos \mathrm {W} )^{2}\\&&&-&&{\frac {2\varepsilon ^{4}\cos \mathrm {W} }{3(1-\varepsilon ^{2})^{2}}}(\cos \mathrm {U} -\cos \mathrm {W} )^{3}+\dots \end{alignedat}}$

Par conséquent, si nous faisons ainsi la carte de la monarchie danoise, par exemple, sur la surface de la sphère entre les limites définies par les latitudes $53^{\circ }$ et $58^{\circ },$ et si nous posons $\mathrm {W} =34^{\circ }30',$ alors, avec l’aplatissement ${\frac {1}{303}},$ la représentation aux limites, évaluée linéairement, ne sera agrandie que de ${\frac {1}{530000}},$

Nous devons nous contenter ici d’avoir donné seulement une indication abrégée d’une méthode de représentation des figures de la géodésie supérieure en réservant pour une autre occasion un exposé convenablement détaillé.

XIV

Il nous reste encore à considérer ici d’une manière un peu plus détaillée une circonstance qui se présente dans notre solution générale. Nous avons démontré à l’Article V qu’il existe toujours deux solutions ; ou bien l’on doit avoir $\mathrm {P} +i\mathrm {Q}$ égal à une fonction de $p+iq$ et $\mathrm {P} -i\mathrm {Q}$ égal à une fonction de $p-iq\ ;$ ou bien l’on doit avoir $\mathrm {P} +i\mathrm {Q}$ égal à une fonction de $p-iq$ et $\mathrm {P} -i\mathrm {Q}$ de $p+iy.$ Nous voulons maintenant prouver en outre que dans une des solutions les parties de la représentation ont une position semblable à celle de l’original, et qu’au contraire dans l’autre solution elles sont placées inversement. Nous voulons aussi indiquer un critérium d’après lequel cela peut être reconnu à priori.