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C.-F. GAUSS

ou de son minimum. Si l’on désigne par $w^{0}$ et $w'$ les valeurs extrêmes de $w,$ on obtient de cette manière

$k={\sqrt {\frac {{\frac {\cos ^{2}{\frac {1}{2}}w^{0}(1-\varepsilon \cos w^{0})^{\varepsilon }}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w^{0})^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\varepsilon }}}-{\frac {\cos ^{2}{\frac {1}{2}}w'(1-\varepsilon \cos w')^{\varepsilon }}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w')^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\varepsilon }}}}{{\frac {\sin ^{2}{\frac {1}{2}}w'(1+\varepsilon \cos w')^{\varepsilon }}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w')^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\varepsilon }}}-{\frac {\sin ^{2}{\frac {1}{2}}w^{0}(1-\varepsilon \cos w^{0})^{\varepsilon }}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w^{0})^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\varepsilon }}}}}}$

Pour reconnaître quelle est la latitude où $m$ prend sa plus grande ou sa plus petite valeur nous avons

${\begin{alignedat}{2}&{\frac {dm}{m}}&&=\operatorname {cotang} \mathrm {U} d\mathrm {U} -\operatorname {cotang} wdw+{\frac {\varepsilon ^{2}\cos w\sin wdw}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w}},\\&{\frac {d\mathrm {U} }{\sin \mathrm {U} }}&&={\frac {dw}{\sin w}}-{\frac {\varepsilon ^{2}\sin wdw}{(1-\varepsilon ^{2})\cos ^{2}w}}={\frac {(1-\varepsilon ^{2})dw}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w)\sin w}},\end{alignedat}}$

d’où

${\frac {dm}{m}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}dw}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w)\sin w}}(\cos \mathrm {U} -\cos w).$

D’après ceci il est clair que $m$ prend sa plus grande ou sa plus petite valeur quand $\mathrm {U} =w\ ;$ si l’on désigne la valeur de $w$ en ce lieu par $\mathrm {W} ,$ on aura

$k=\left({\frac {1-\varepsilon \cos \mathrm {W} }{1+\varepsilon \cos \mathrm {W} }}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }\qquad {\text{ou}}\qquad \cos \mathrm {W} ={\frac {1-k^{\frac {2}{\epsilon }}}{\varepsilon (1+k)^{\frac {2}{\varepsilon }}}}$

d’où l’on peut tirer $W,$ lorsque $k$ a été calculé à l’aide de la formule précédente. Toutefois dans la pratique il importe peu qu’on ait une égalité parfaitement rigoureuse des valeurs de m aux latitudes extrêmes, et on peut se contenter de prendre