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REPRÉSENTATION CONFORME

but en question d’une manière encore plus complète, si l’on généralise encore un peu la solution générale en prenant non $f(v)=v$ mais $f(v)=v+\ {\text{Const.}}$ On n’y aurait évidemment absolument rien gagné, si l’on attribuait à cette constante une valeur réelle, puisqu’alors $\mathrm {T}$ et $t$ différeraient simplement de cette constante, et que par conséquent les origines des longitudes, seraient seules changées. Mais il en est tout autrement lorsque l’on attribue à la constante une valeur imaginaire. Si on la fait $=i\log k,$ on aura

$\mathrm {T} =t,\qquad \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} =k\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w\left({\frac {1+\varepsilon \cos w}{1-\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }.$

Pour pouvoir ici reconnaître la valeur de $k$ la plus convenable, nous devons avant tout déterminer le rapport d’agrandissement.

On aura dans ce cas, avec les notations des Articles V et VI,

${\begin{alignedat}{2}&n&&=a^{2}\sin ^{2}u,\\&\mathrm {N} &&=\mathrm {A} ^{2}\sin ^{2}\mathrm {U} ,\\&\varphi (v)&&=1.\end{alignedat}}$

Par conséquent

${\begin{alignedat}{2}&m&&={\frac {\mathrm {A} \sin \mathrm {U} }{a\sin u}}={\frac {\mathrm {A} \sin \mathrm {U} }{a\sin w}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w}}\\&&&={\frac {\mathrm {A} }{a}}{\frac {\mathrm {k(1-\epsilon ^{2}\cos ^{2}w)^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\varepsilon }} }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}w(1-\varepsilon \cos w)^{2}+k^{2}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}w(1+\varepsilon \cos w)^{2}}},\end{alignedat}}$

rapport qui par suite ne dépend que de la latitude. On obtient le plus petit écart possible avec la similitude complète si l’on détermine $k$ tel que $m$ prenne des valeurs égales pour les latitudes extrêmes, ce qui évidemment pour la latitude moyenne fera prendre à $m$ une valeur très rapprochée de son maximum