Page:Gauss - Représenter les parties d'une surface donnée sur une autre surface donnée, traduction Laugel, 1915.djvu/26

21

REPRÉSENTATION CONFORME

et pour la seconde

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} &&=k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}we^{-\eta \lambda \operatorname {arctang} (\eta \cos w)}\cos \lambda t,\\&\mathrm {X} &&=k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}we^{-\eta \lambda \operatorname {arctang} (\eta \cos w)}\sin \lambda t,\end{alignedat}}$

XIII

Comme dernier exemple nous allons traiter la représentation générale de la surface de l’ellipsoïde de révolution sur celle de la sphère.

Nous conserverons pour l’ellipsoïde les notations de l’article précédent, et $\mathrm {A}$ désignant le demi-diamètre de la sphère nous poserons

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} &&=\mathrm {A} \cos \mathrm {T} \sin \mathrm {U} ,\\&\mathrm {Y} &&=\mathrm {A} \sin \mathrm {T} \sin \mathrm {U} ,\\&\mathrm {Z} &&=\cos \mathrm {U} .\end{alignedat}}$

Si l’on fait ici l’application de la solution générale de l’Article V, on trouve que, $f$ désignant une fonction arbitraire, on doit poser $\mathrm {T}$ égal à la partie réelle et $i\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U}$ à la partie imaginaire de

$f\left(t+i\log \left[\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }\right]\right).$^[1]

1. Nous négligerons ici en partie et la seconde solution de l’Article V qui diffère seulement de celle en question par le remplacement de $+\mathrm {T}$ par $-\mathrm {T}$ et correspondrait à une représentation inverse, et le cas d’un ellipsoïde allongé dont la considération se ramène évidemment à celle de l’ellipsoïde aplati d’après les développements de l’article qui précède (Gauss).