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C.-F. GAUSS

ral est très avantageuse pour la représentation d’une partie de la surface de la terre au cas où on veut tenir compte de l’aplatissement.

Pour ce qu’il reste à dire de l’autre cas où $b>a,$ il serait facile, il est vrai, de le déduire de ce qui précède où, en conservant les mêmes notations, epsilon est imaginaire, mais où $\left({\frac {1+\varepsilon \cos w}{1-\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }$ sera encore réel.

Mais, pour être complet, indiquons encore en particulier les formules relatives à ce cas, et posons tout d’abord

${\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1}}=\eta .$

On doit alors déterminer $w$ à l’aide de l’équation

${\sqrt {1+\eta ^{2}}}\operatorname {tang} u=\operatorname {tang} w,$

et l’équation différentielle

$0=dt\mp idw{\frac {1+\eta ^{2}}{(1+\eta ^{2}\cos ^{2}w)\sin w}}$

donnera l’intégrale

${\text{Const.}}=t\pm i\left[\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w+\eta \ \operatorname {arc\ tang} (\eta \cos w)\right],$

en sorte que l’on devra prendre pour $\mathrm {X}$ la partie réelle et pour $i\mathrm {Y}$ la partie imaginaire de

$f\left(t+i\left[\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w+\eta \ \operatorname {arc\ tang} (\eta \cos w)\right]\right).$

On en déduit immédiatement les analogues des deux applications particulières considérées plus haut. Pour la première on devra poser ici

$\mathrm {X} =kt,\qquad \mathrm {Y} =k\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{w}}+\eta k\operatorname {arctang} (\eta \cos w),$