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REPRÉSENTATION CONFORME

Si l’on pose ici

${\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\operatorname {tang} u\ =\ \operatorname {tang} w$

où, en faisant l’application au sphéroïde terrestre, $90^{\circ }-w$ représentera la latitude géographique et $t$ la longitude, cette équation se transforme en

$0=dt\mp idd{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}w)\sin w}}$

dont l’intégration donne

${\text{Const.}}=t\pm i\log \left[\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }\right].$

On doit donc, $f$ désignant une fonction arbitraire, prendre pour $\mathrm {X}$ la partie réelle et pour $i\mathrm {Y}$ la partie imaginaire de

$f\left(t+i\log \left[\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }\right]\right).$

Si l’on choisit pour $f$ une fonction linéaire, c’est à dire $f(v)=kv,$ on aura

$\mathrm {X} =kt,\qquad \mathrm {Y} =k\log \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}w-{\frac {1}{2}}k\varepsilon \log \left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right),$

ce qui fournit une projection analogue à celle de Mercator.

Si l’on prend au contraire pour $f$ une fonction exponentielle imaginaire $f(v)=ke^{i\lambda v},$ on aura

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} &&=k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon \lambda }\cos \lambda t,\\&\mathrm {X} &&=k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}w\left({\frac {1-\varepsilon \cos w}{1+\varepsilon \cos w}}\right)^{{\frac {1}{2}}\varepsilon \lambda }\sin \lambda t,\end{alignedat}}$

ce qui, pour $\lambda =1$ fournit une projection analogue à la projection polaire [polarprojection]) stéréographique, qui en géné-