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REPRÉSENTATION CONFORME

X

En troisième lieu, soit à représenter sur le plan la surface de la sphère de rayon $a.$ Nous posons ici

${\begin{alignedat}{2}&x&&=a\cos t\sin u,\\&y&&=a\sin t\sin u,\\&z&&=a\cos u,\end{alignedat}}$

d’où nous tirons

$\omega =a^{2}\sin ^{2}udt^{2}+a^{2}du^{2}.$

L’équation diilérentielle $\omega =0$ donne par suite,

$dt\mp i{\frac {du}{\sin u}}=0,$

et l’intégration de celle-ci

$t\pm i\log \ \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}u={\text{Const.}}.$

Donc, si nous désignons encore par la lettre $f$ une fonction arbitraire, l’on devra prendre pour $\mathrm {X}$ la partie réelle et pour $i\mathrm {Y}$ la partie imaginaire de

$f\left(t\pm i\log \ \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}u\right).$

Nous nous proposons de traiter quelques cas particuliers de cette solution générale.

Si l’on choisit pour $f$ une fonction linéaire, en posant $f(v)=kv,$ on aura

$\mathrm {X} =dt,\qquad \mathrm {Y} =k\log \ \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}u.$