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C.-F. GAUSS

c’est à dire que, fdésignant une fonction arbitraire, l’on prendra pour $\mathrm {X}$ la partie réelle de

$f\left(\log t+i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)$

et pour $\mathrm {Y}$ la partie imaginaire, après suppression du facteur $i.$

Si l’on prend par exemple pour $f$ une fonction exponentielle, à savoir

$f(v)=he^{v}$

où $h$ est une constante, et où $e$ désigne la base des logarithmes hyperboliques, on a ainsi la représentation la plus simple

$\mathrm {X} =ht\cos \left({\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right),\qquad \mathrm {Y} =ht\sin \left({\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right).$

L’application des formules de l’Article VII donne ici

${\begin{alignedat}{2}&n&&=&&(k^{2}+1)t^{2},\\&\mathrm {N} &&=&&1.\end{alignedat}}$

et, puisque $\varphi (v)=\varphi _{1}(v)=he^{v},$ on a

$\varphi \left(\log t+i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)\varphi _{1}\left(\log t-i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)=h^{2}t^{2},$

et par suite le rapport d’agrandissement sera

$m={\frac {h}{\sqrt {k^{2}+1}}}$

et par conséquent constant.

Si l’on fait encore

$h={\sqrt {k^{2}+1}},$

la représentation sera donc en ce cas un développement complet [du cône sur le plan — sous entendu par Gauss.].