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REPRÉSENTATION CONFORME

gardé auparavant comme supérieur est maintenant pris comme côté inférieur. On pourra d’ailleurs toujours faire l’application de cette remarque, lorsque l’une des deux surfaces est un plan ; aussi dans les exemples de cette nature qui suivent nous pouvons nous en tenir simplement à la première solution.

IX

Considérons maintenant [comme second exemple] la représentation de la surface d’un cône droit sur le plan. Comme équation de la première surface prenons

$x^{2}+y^{2}-k^{2}z^{2}=0,$

où nous poserons ensuite

${\begin{alignedat}{2}&x&&=&&\ kt\cos u,\\&y&&=&&\ kt\sin u,\\&z&&=&&\ t,\end{alignedat}}$

et, comme auparavant,

$\mathrm {X} =\mathrm {T} ,\qquad \mathrm {Y} =\mathrm {U} ,\qquad \mathrm {Z} =0.$

L’équation différentielle

$\omega =(k^{2}+1)dt^{2}+k^{2}t^{2}du^{2}=0$

donne ici les deux intégrales

$\log t\pm i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u={\text{Const.}}.$

Nous avons donc la solution

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} +i\mathrm {Y} &&=&&f\left(\log t+{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right),\\&\mathrm {X} -i\mathrm {Y} &&=&&f\left(\log t-{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)\ ;\end{alignedat}}$