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REPRÉSENTATION CONFORME

en sorte que $ds$ représente un élément linéaire sur le premier plan, $g$ son inclinaison sur l’axe des abscisses, $d\mathrm {S}$ l’élément linéaire correspondant sur le second plan et $\mathrm {G}$ son inclinaison sur l’axe des abscisses, les équations précédentes donnent

${\begin{alignedat}{2}&d\mathrm {S} \cos \mathrm {G} &&=&&\sigma ds\cos(g+\gamma ),\\&d\mathrm {S} \sin \mathrm {G} &&=&&\sigma ds\sin(g+\gamma ),\end{alignedat}}$

et, par suite, si l’on regarde $\sigma$ comme positif, ce qui est permis, on aura

$d\mathrm {S} =\sigma ds,\qquad \mathrm {G} =g+\gamma .$

On voit, par conséquent [conformément à l’Article VII], que σ représente le rapport d’agrandissement de l’élément ds sur la représentation $d\mathrm {S} ,$ et qu’il est, comme cela doit être, indépendant de $g\ ;$ de même le fait que l’angle $\gamma$ est indépendant de $g$ montre que tous les éléments linéaires issus d’un point sur le premier plan seront représentés par des éléments sur le second plan, formant entre eux les mêmes angles que les premiers et, nous pouvons ajouter, dans le même sens.

Si l’on choisit pour $f$ une fonction linéaire, en sorte que $f(v)=\mathrm {A} +\mathrm {B} v,$ où les coefficients constants sont de la forme

$\mathrm {A} =a+bi,\qquad \mathrm {B} =c+ei,$

on aura

$(v)=\mathrm {B} =c+ei$

et, par conséquent,

$\sigma ={\sqrt {c^{2}+e^{2}}},\qquad \gamma =\operatorname {arc\ tang} {\frac {e}{c}}$

Le rapport d’agrandissement est donc constant en tous les points, et la représentation est partout semblable à l’original.

Pour toute autre fonction $f$ [comme c’est facile à démontrer] le rapport d’agrandissement ne sera pas constant, et, par consé-