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C.-F. GAUSS

aisément que

$p'+iq'={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad p'-iq'={\text{Const.}}$

représentent aussi des intégrales de l’équation différentielle $\omega =0,$ car elles sont tout à fait équivalentes aux équations

$p+iq={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad p-iq={\text{Const.}}$

De même les intégrales de l’équation différentielle $\Omega =0,$

$\mathrm {P'} +i\mathrm {Q'} ={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {P'} -i\mathrm {Q'} ={\text{Const.}}$

seront tout à fait équivalentes aux équations

$\mathrm {P} +i\mathrm {Q} ={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {P} -i\mathrm {Q} ={\text{Const.}},$

si $\mathrm {P'} -i\mathrm {Q'}$ représente une fonction quelconque déterminée de $\mathrm {P} +i\mathrm {Q}$ [où $\mathrm {P'} ,\ \mathrm {Q'}$ sont des fonctions réelles de $\mathrm {P} ,\ \mathrm {Q}$]. De là résulte bien clairement que dans la solution générale de notre problème, donnée dans l’Article précédent, $p',\ q'$ peuvent remplacer $p,\ q,$ et $\mathrm {P'} ,\ \mathrm {Q'}$ remplacer $\mathrm {P} \ \mathrm {Q} .$ Bien que la résolution du problème ne gagne rien ainsi en généralité, néanmoins il sera parfois plus commode dans les applications d’employer tantôt l’une tantôt l’autre de ces formes.

VII

Si nous désignons respectivement par $\varphi$ et $\varphi _{1},$ les fonctions provenant de la différentiation des fonctions arbitraires $f,f_{1},$ de telle sorte que

$df(v)=\varphi (v)dv,\qquad df(v)=\varphi _{1}(v)dv,$