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REPRÉSENTATION CONFORME

On reconnaît d’ailleurs facilement que si l’on pose, par exemple,

$\mathrm {P} +i\mathrm {Q} =f(p+iq),\qquad \mathrm {P} -i\mathrm {Q} =f(p-iq).$

la nature de la fonction $f_{1}$ est déterminée par celle de la fonction $f.$ En effet lorsque parmi les quantités constantes que peut renfermer cette dernière, il ne s’en trouve aucune qui ne soit réelle, l’autre fonction $f_{1}$ devra être complètement identique à $f,$ afin qu’à des valeurs réelles de $p,\ q,$ correspondent toujours des valeurs réelles de $\mathrm {P} ,\ \mathrm {Q} \ ;$ dans le cas contraire $f_{1}$ se distinguera seulement de $f$ par ce seul fait que dans les éléments imaginaires de $f_{1}$ au lieu de $i$ l’on devra partout poser $-i,$ le signe étant seul changé.

On a par conséquent

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} &={\frac {1}{2}}f(p+iq)&&+{\frac {1}{2}}f_{1}(p-iq),\\i\mathrm {Q} &={\frac {1}{2}}f(p+iq)&&-{\frac {1}{2}}f_{1}(p-iq),\end{alignedat}}$

ou, ce qui revient au même, la fonction $f$ étant prise tout à fait arbitraire [y compris les éléments imaginaires constants pris à volonté], $\mathrm {P}$ sera pris égal à la partie réelle et $i\mathrm {Q}$ à la partie imaginaire [$-i\mathrm {Q}$ dans la deuxième solution] de $f(p+iq),$ et par suite en résolvant on obtiendra $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ en fonction de $t$ et $u.$

Le problème proposé est donc ainsi résolu d’une manière générale et complète.

VI

Si $p'+iq'$ représente une fonction quelconque déterminée de $p+iq$ $\left[p',\ q'\right.$ étant des fonctions réelles de $\left.p,\ q\right],$ on voit