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C.-F. GAUSS

Ces intégrations peuvent évidemment s’effectuer [abstraction faite des difficultés générales de l’intégration] avant la résolution de notre problème principal.

Si à $\mathrm {X} ,\ \mathrm {X}$ l’on substitue des fonctions de $t,\ u$ telles que la condition de notre problème principal soit remplie, $\Omega$ se transforme en $m^{2}\omega$ et l’on aura

${\frac {(d\mathrm {P} +id\mathrm {Q} )(d\mathrm {P} -id\mathrm {Q} )}{dp+idq)(dp-idq)}}={\frac {m^{2}n}{\mathrm {N} }}$.

Mais on voit facilement que le numérateur du premier membre de cette équation ne peut être divisible par le dénominateur que lorsque

$d\mathrm {P} +id\mathrm {Q}$ est divisible par $dp+idq,$

et

$d\mathrm {P} -id\mathrm {Q}$ par $dp-idq,$

ou bien lorsque

$d\mathrm {P} +id\mathrm {Q}$ est divisible par $dp-idq,$

et

$d\mathrm {P} -id\mathrm {Q}$ par $dp+idq,$

Dans le premier cas, par conséquent, $d\mathrm {P} +id\mathrm {Q}$ s’évanouira lorsque $dp+idq=0,$ ou bien $\mathrm {P} +i\mathrm {Q}$ sera constant si l’on suppose $p+iq,$ constant ; c’est à dire que $\mathrm {P} +i\mathrm {Q}$ sera simplement fonction de $p+iq,$ et de même $\mathrm {P} -i\mathrm {Q}$ fonction de $p-iq.$ Dans l’autre cas, $\mathrm {P} +i\mathrm {Q}$ sera fonction de $p-iq,$ et $\mathrm {P} -i\mathrm {Q}$ fonction de $p+iq.$ Il est aisé de voir également que les réciproques de ces conclusions sont exactes ; c’est à dire que, lorsque l’on prend pour $\mathrm {P} +i\mathrm {Q} ,\ \mathrm {P} -i\mathrm {Q}$ [soit dans l’ordre respectif, soit dans l’ordre inverse] des fonctions de $p+iq,\ p-iq,$ la divisibilité exacte de $\Omega$ par $\omega ,$ et par suite la proportionnalité, que l’on a ci-dessus trouvée nécessaire, aura lieu.