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REPRÉSENTATION CONFORME

[où l’on a écrit $i$ pour abréger au lieu de ${\sqrt {-1}},$ car on voit aisément que la partie irrationnelle de l’expression doit être imaginaire] ; l’autre intégrale correspond à une équation toute pareille où l’on remplacera seulement $i$ par $-i$.

Par conséquent si l’intégrale de la première équation est

$p+iq={\text{Const.}},$

$p$ et $q$ désignant des fonctions réelles de t et u, l’autre intégrale sera

$p-iq={\text{Const.}},$

d’où il résulte par la nature même de la question que

$(dp+idq)(dp-idq)$

c’est-à-dire

$dp^{2}+dq^{2}$

doit être un facteur de $\omega ,$ d’où

$\omega =n(dp^{2}+dq^{2}).$

$n$ désignant une fonction finie de $t$ et $u.$

Désignons maintenant par $\Omega$ le trinôme que l’on obtient en remplaçant dans

$d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}$

$d\mathrm {X} ,\ d\mathrm {Y} ,\ d\mathrm {Z}$ par leurs valeurs en $\mathrm {T} ,\ \mathrm {U} ,\ d\mathrm {T} ,\ d\mathrm {U} ,$ et nous supposerons comme précédemment que les deux intégrales de l’équation $\Omega =0$ sont les suivantes

$\mathrm {P} +i\mathrm {Q} =0,$

$\mathrm {P} -i\mathrm {Q} =0,$

et que

$\Omega =\mathrm {N} (d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}),$

où $\mathrm {P} ,\ \mathrm {Q} ,\ \mathrm {N}$ désigneront des fonctions réelles de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U} .$