Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/9

Cette page a été validée par deux contributeurs.
( 7 )

Il faut maintenant distinguer trois cas. Premièrement, chaque fois que est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc , on aura degrés, et par suite, . Mais quand est situé hors de ce grand cercle, on aura le deuxième cas, s’il est dans le même hémisphère que  ; le troisième, s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par les angles de ce triangle et par la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point au côté on aura

, et


le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons

Il est d’ailleurs évident que le premier cas peut être censé compris dans le deuxième ou le troisième, et l’on voit sans embarras que est égal à six fois le volume de la pyramide formée entre les points et le centre de la sphère. Enfin, on tire de là avec la plus grande facilité, que la même expression exprime généralement le volume d’une pyramide quelconque comprise entre l’origine des coordonnées et les points dont sont les coordonnées.


III.


Une surface courbe est dite avoir une courbure continue en un point situé sur elle, si les directions de toutes