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5. De là on déduit facilement qu’on a, en général,

$\cos ^{2}(1)\mathrm {L} +\cos ^{2}(2)\mathrm {L} +\cos ^{2}(3)\mathrm {L} =1,$

et, en désignant par $\mathrm {L} '$ un autre point quelconque de la surface de la sphère,

$\cos(1)\mathrm {L} .\cos(1)\mathrm {L} '+\cos(2)\mathrm {L} .\cos(2)\mathrm {L} '+\cos(3)\mathrm {L} .\cos(3)\mathrm {L} '=\cos \mathrm {LL'} .$

6. Théorème. En désignant par $\mathrm {L} ,\ \mathrm {L} ',\ \mathrm {L} '',\ \mathrm {L} '''$ quatre points sur la surface de la sphère, et par $\mathrm {A}$ l’angle que les arcs $\mathrm {LL} ',\ \mathrm {L} ''\mathrm {L} '''$ forment à leur point de concours, on aura

$\cos \mathrm {LL} ''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} '''-\cos \mathrm {LL} '''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} ''=\sin \mathrm {L} \mathrm {L} '.\sin \mathrm {L} ''\mathrm {L} '''.\cos \mathrm {A} .$

Démonstration. Dénotons de plus, par la lettre $\mathrm {A}$, le point même de concours, et posons

$\mathrm {AL} =t,\quad \mathrm {AL} '=t',\quad \mathrm {AL} ''=t'',\quad \mathrm {AL} '''=t'''\,;$

nous avons ainsi :

${\begin{array}{lclcl}\cos \mathrm {LL} ''&=&\cos t.\cos t''&+&\sin t.\sin t''\cos \mathrm {A} ,\\\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} '''&=&\cos t'.\cos t'''&+&\sin t'.\sin t'''\cos \mathrm {A} ,\\\cos \mathrm {L} \mathrm {L} '''&=&\cos t.\cos t'''&+&\sin t.\sin t'''\cos \mathrm {A} ,\\\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} ''&=&\cos t'.\cos t''&+&\sin t'.\sin t''\cos \mathrm {A} ,\end{array}}$

et, par conséquent,

$\cos \mathrm {LL} ''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} '''-\cos \mathrm {LL} '''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} ''$

$=\cos \mathrm {A} \left({\begin{alignedat}{3}&\cos t\cos t''\sin t'\sin t'''\\+\ &\cos t'\cos t'''\sin t\sin t''-\cos t\cos t'''\sin t'\sin t''\\-\ &\cos t'\cos t''\sin t\sin t'''\end{alignedat}}\right)$

$=\cos \mathrm {A} (\cos t\sin t'-\sin t\cos t')(\cos t''\sin t'''-\sin t''\cos t''')$

$=\cos \mathrm {A} .\sin(t'-t).\sin(t'''-t'')$

$=\cos \mathrm {A} .\sin \mathrm {LL} '.\sin \mathrm {L} ''\mathrm {L} '''.$

D’ailleurs, comme il part du point $\mathrm {A}$ deux branches de chaque grand cercle, il se forme en ce point deux angles, dont l’un est le complément de l’autre à 180 degrés : mais notre analyse montre qu’on doit prendre les branches dont les directions concordent avec le sens de la marche