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Nous avons, jusqu’aux quantités du quatrième ordre,

$\sin \mathrm {A} ^{*}=\sin \mathrm {A} -{\frac {1}{12}}\sigma \cos \mathrm {A} .(2\alpha +\beta +\gamma ),$

ou, avec la même exactitude,

$\sin \mathrm {A} =\sin \mathrm {A} ^{*}\left[1+{\frac {1}{24}}bc\cos \mathrm {A} .(2\alpha +\beta +\gamma )\right].$

Substituant cette valeur dans la formule [9], on aura jusqu’aux quantités du sixième ordre,

$\sigma ={\frac {1}{2}}bc\sin \mathrm {A} ^{*}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ \left(3b^{2}+3c^{2}-2bc\cos \mathrm {A} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \beta \ \left(3b^{2}+4c^{2}-4bc\cos \mathrm {A} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ \left(4b^{2}+3c^{2}-4bc\cos \mathrm {A} \right)\end{aligned}}\right\},$

ou, avec la même exactitude,

$\sigma =\sigma ^{*}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ (a^{2}+2b^{2}+2c^{2})+{\frac {1}{120}}\ \beta \ \left(2a^{2}+b^{2}+2c^{2}\right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ \left(2a^{2}+2b^{2}+c^{2}\right)\end{aligned}}\right\}.$

Pour la surface sphérique, cette formule prend la forme suivante :

$\sigma =\sigma ^{*}\left[1+{\frac {1}{24}}\alpha \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right],$

à la place de laquelle on peut prendre aussi la suivante, en conservant la même précision, comme il est facile de vérifier,

$\sigma =\sigma ^{*}\mathrm {\sqrt {\frac {\sin A\ .\sin B\ .\sin C}{\sin A^{*}.\sin B^{*}.\sin C^{*}}}} .$

Si l’on applique la même formule aux triangles sur une surface courbe non sphérique, l’erreur sera, généralement parlant, du cinquième ordre, mais insensible dans