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quatrième ordre, deviennent très-simples, savoir :

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} ^{*}&&\ =\mathrm {A} &&\ -\ {\frac {1}{12}}\sigma (2\alpha +\beta +\gamma ),\\\mathrm {B} ^{*}&&=\mathrm {B} &&\ -\ {\frac {1}{12}}\sigma (\alpha +2\beta +\gamma ),\\\mathrm {C} ^{*}&&=\mathrm {C} &&\ -\ {\frac {1}{12}}\sigma (\alpha +\beta +2\gamma ).\end{alignedat}}$

Ainsi, il faut appliquer à $\mathrm {A,\ B,\ C}$ des réductions inégales, quand ils ne sont pas sur une surface sphérique, pour que les sinus des angles dans lesquels ils ont été changés soient proportionnels aux côtés opposés. L’inégalité, généralement parlant, sera du troisième ordre ; mais, si la surface diffère peu de la sphère, cette inégalité se rapportera à un ordre supérieur. Dans les triangles même les plus grands sur la surface de la terre, dont on peut mesurer les angles, la différence peut toujours être regardée comme insensible. Ainsi, par exemple, dans le triangle le plus grand parmi ceux que nous avons mesurés l’année précédente, savoir, entre les points Hohehagen, Broken, Inselsberg, où l’excès de la somme des angles fut égale à $14^{\prime \prime },85348,$ le calcul donna les réductions suivantes à appliquer aux angles :

Hohehagen 

 $4^{\prime \prime },95113,$

Brocken 

 $4^{\prime \prime },95104,$

Inselsberg 

 $4^{\prime \prime },95131.$

XXIX.

Pour finir, nous ajouterons encore la comparaison de l’aire du triangle sur la surface courbe avec l’aire du triangle rectiligne, dont les côtés sont $a,b,c.$ Nous désignerons par $\sigma ^{*}$ cette dernière aire, qui est égale à

${\frac {1}{2}}bc\ \sin \mathrm {A} ^{*}\ =\ {\frac {1}{2}}ac\ \sin \mathrm {B} ^{*}\ =\ {\frac {1}{2}}ab\ \sin \mathrm {C} ^{*}.$