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XXVII.

Si la surface courbe est une sphère dont le rayon égale 1, on aura

$\alpha =\beta =\gamma =-2f^{0}={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}},\quad f''=0,\quad g'=0,\quad 6h^{0}-f^{0}f^{0}=0,$

ou

$h^{0}\ =\ {\frac {1}{24\mathrm {R} ^{4}}}.$

Par là, la formule [14] devient

$\mathrm {A+B+C} \ =\ \pi +{\frac {\sigma }{\mathrm {R} ^{2}}},$

et jouit d’une précision absolue ; mais les formules [11], [12], [13] donnent

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} ^{*}&=\mathrm {A} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(2p^{2}-q^{2}+4qq'-q'^{2}\right),\\\mathrm {B} ^{*}&=\mathrm {B} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(p^{2}-q^{2}+2qq'+q'^{2}\right),\\\mathrm {C} ^{*}&=\mathrm {C} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(p^{2}+q^{2}+2qq'-2q'^{2}\right),\end{alignedat}}$

ou, avec la même exactitude,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} ^{*}&=\mathrm {A} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(b^{2}+c^{2}-2a^{2}\right),\\\mathrm {B} ^{*}&=\mathrm {B} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(a^{2}+c^{2}-2b^{2}\right),\\\mathrm {C} ^{*}&=\mathrm {C} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(a^{2}+b^{2}-2c^{2}\right).\end{alignedat}}$

En négligeant les quantités du quatrième ordre, on tire de là le théorème connu proposé, pour la première fois, par l’illustre Legendre.

XXVIII.

Nos formules générales, en rejetant les termes du