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du cinquième ordre,

[11]

$\mathrm {A} ^{*}=\mathrm {A} -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{6}}\alpha &+{\frac {1}{12}}\beta +{\frac {1}{12}}\gamma +{\frac {2}{15}}f''p^{2}+{\frac {1}{5}}g'p(q+q')\\&+{\frac {1}{5}}h^{0}(3q^{2}-2qq'+3q'^{2})\\&-{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(4p^{2}-11q^{2}+14qq'-11q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Par des opérations tout à fait semblables, nous trouvons

[12]

$\mathrm {B} ^{*}=\mathrm {B} -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{12}}\alpha &+{\frac {1}{6}}\beta +{\frac {1}{12}}\gamma +{\frac {1}{10}}f''p^{2}+{\frac {1}{10}}g'p(2q+q')\\&+{\frac {1}{5}}h^{0}(4q^{2}-4qq'+3q'^{2})\\&-{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(2p^{2}+8q^{2}-8qq'+11q'^{2})\end{alignedat}}\right\},$

[13]

$\mathrm {C} ^{*}=\mathrm {C} -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{12}}\alpha &+{\frac {1}{12}}\beta +{\frac {1}{6}}\gamma +{\frac {1}{10}}f''p^{2}+{\frac {1}{10}}g'p(q+2q')\\&+{\frac {1}{5}}h^{0}(3q^{2}-4qq'+4q'^{2})\\&-{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(2p^{2}+11q^{2}-8qq'+8q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

De là nous déduisons en même temps, puisque la somme $\mathrm {A^{*}+B^{*}+C^{*}}$ est égale à deux droits, l’excès de la somme $\mathrm {A+B+C}$ sur deux angles droits, savoir :

[14]

$\mathrm {A+B+C} =\pi -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{3}}\alpha &+{\frac {1}{3}}\beta +{\frac {1}{3}}\gamma +{\frac {1}{3}}f''p^{2}+{\frac {1}{2}}g'p(q+q')\\&+\left(2h^{0}-{\frac {1}{3}}f^{0}f^{0}\right)(q^{2}-qq'+q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Cette dernière formule pourrait aussi se déduire de la formule [6],