Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/57

( 55 )

En changeant dans les formules [1], [4], [5] les quantités qui se rapportent à $\mathrm {B}$ en celles qui se rapportent à $\mathrm {C} ,$ nous trouverons des formules pour $r'^{2},\ r'\cos \varphi ',r'\ \sin \varphi '.$ Alors le développement de l’expression

$r^{2}+r'^{2}-(q-q')^{2}-2r\cos \varphi .r'\cos \varphi '-2r\sin \varphi .r'\sin \varphi ',$

qui devient

$=\ b^{2}+c^{2}-a^{2}-2\ bc\ \cos \mathrm {A} \ =\ 2bc\ (\cos \mathrm {A} ^{*}-\cos \mathrm {A} ),$

combinée avec le développement de l’expression

$r\sin \varphi .r'\cos \varphi '-r\cos \varphi .r'\sin \varphi ',$

qui devient $=bc\sin \mathrm {A} ,$ donne la formule suivante :

${\begin{alignedat}{3}&&\cos \mathrm {A} ^{*}-\cos \mathrm {A} \\=&&-(q-q')p\sin \mathrm {A} \end{alignedat}}\left\{{\begin{alignedat}{3}&\left({\frac {1}{3}}f^{0}+{\frac {1}{6}}f'\right)p+{\frac {1}{4}}g^{0}(q+q')\\+&\left({\frac {1}{10}}f''-{\frac {1}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}+{\frac {1}{30}}g'p(q+q')\\+&\left({\frac {1}{5}}h^{0}+{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}\right)(q^{2}+qq'+q'^{2})+\dots \end{alignedat}}\right\}.$

De là vient aussi, jusqu’aux quantités du cinquième ordre,

$\mathrm {A} ^{*}-\mathrm {A} =-(q-q')p\left\{{\begin{alignedat}{3}&{\frac {1}{3}}f^{0}+{\frac {1}{6}}f'p+{\frac {1}{4}}g^{0}(q+q')+{\frac {1}{10}}f''p^{2}\\+&{\frac {3}{20}}g'p(q+q')+{\frac {1}{5}}h^{0}(q^{2}+qq'+q'^{2})\\-&{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(7p^{2}+7q^{2}+12qq'+7q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

En combinant cette formule avec celle-ci,

$2\sigma =ap\left[1-{\frac {1}{6}}f^{0}(p^{2}+q^{2}+qq'+q'^{2}-\dots )\right],$

et avec les valeurs des quantités $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ rapportées dans l’article précédent, nous obtenons jusqu’aux quantités