Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/55

( 53 )

$\sigma ={\frac {1}{2}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{alignedat}{3}1&-{\frac {1}{6}}f^{0}(p^{2}-q^{2}+qq'+q'^{2})\\&-{\frac {1}{60}}f'p(6p^{2}-8q^{2}+7qq'+7q'^{2})\\&-{\frac {1}{20}}g^{0}(3p^{2}q+3p^{2}q'-6q^{3}+4q^{2}q'+4qq'^{2}+4q'^{3})\end{alignedat}}\right\}.$

La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface devient, par l’art. XIX (où $m,\ p,\ q$ étaient ce que sont ici $n,\ q,\ p,$)

${\begin{alignedat}{3}-{\frac {1}{n}}.{\frac {d^{2}n}{dq^{2}}}&={\frac {2f+6gq+12hq^{2}+\dots }{1+fq^{2}+\dots }}\\&=-2f-6gq-(12h-2f^{2})q^{2}\dots \end{alignedat}}$

De là, quand $p,\ q$ se rapportent au point $\mathrm {B}$,

${\begin{alignedat}{3}\beta =-2f^{0}&-2f'p-6g^{0}q-2f''p^{2}-6g'pq\\&-(12h^{0}-2f^{0}f^{0})q^{2}-\dots \end{alignedat}}$

et aussi

${\begin{alignedat}{3}\gamma =-2f^{0}&-2f'p-6g^{0}q'-2f''p^{2}-6g'pq'\\&-(12h^{0}-2f^{0}f^{0})q'^{2}-\dots \\\alpha =-2f^{0}\end{alignedat}}$

En introduisant ces mesures de courbure dans la série pour $\sigma ,$ nous obtenons l’expression suivante, exacte jusqu’aux quantités du sixième ordre (exclusivement),

$\sigma ={\frac {1}{5}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{alignedat}{3}1&-{\frac {1}{120}}\alpha (4p^{2}-2q^{2}+3qq'+3q'^{2})\\&+{\frac {1}{120}}\beta (3p^{2}-6q^{2}+6qq'+6q'^{2})\\&-{\frac {1}{120}}\gamma (3p^{2}-2q^{2}+qq'^{2}+4q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

La précision restera la même, si pour $p,\ q,\ q'$ nous substituons $c\sin \mathrm {B} ,\ c\cos \mathrm {B} ,\ c\cos \mathrm {B} -a\ ;$ cela fait, il