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$\sigma ={\frac {1}{2}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {1}{6}}f^{0}\left(p^{2}-q^{2}+qq'+q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{60}}f'p\left(6p^{2}-8q^{2}+7qq'+7q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{20}}g^{0}\left(3p^{2}q+3p^{2}q'-6q^{3}+4q^{2}q'+4qq'^{2}+4q'^{3}\right)\end{aligned}}\right\}.$

La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface devient, par l’art. XIX (où $m,\ p,\ q$ étaient ce que sont ici $n,\ q,\ p,$)

${\begin{alignedat}{3}-{\frac {1}{n}}.{\frac {d^{2}n}{dq^{2}}}&={\frac {2f+6gq+12hq^{2}+\dots }{1+fq^{2}+\dots }}\\&=-2f-6gq-(12h-2f^{2})q^{2}\dots \end{alignedat}}$

De là, quand $p,\ q$ se rapportent au point $\mathrm {B}$,

${\begin{alignedat}{3}\beta =-2f^{0}&-2f'p-6g^{0}q-2f''p^{2}-6g'pq\\&-(12h^{0}-2f^{0}f^{0})q^{2}-\dots \end{alignedat}}$

et aussi

${\begin{aligned}\gamma =-2f^{0}&-2f'p-6g^{0}q'-2f''p^{2}-6g'pq'\\&-(12h^{0}-2f^{0}f^{0})q'^{2}-\dots \\\alpha =-2f^{0}\end{aligned}}$

En introduisant ces mesures de courbure dans la série pour $\sigma ,$ nous obtenons l’expression suivante, exacte jusqu’aux quantités du sixième ordre (exclusivement),

$\sigma ={\frac {1}{5}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {1}{120}}\alpha \left(4p^{2}-2q^{2}+3qq'+3q'^{2}\right)\\&+{\frac {1}{120}}\beta \left(3p^{2}-6q^{2}+6qq'+6q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{120}}\gamma \left(3p^{2}-2q^{2}+qq'^{2}+4q'^{2}\right)\end{aligned}}\right\}.$

La précision restera la même, si pour $p,\ q,\ q'$ nous substituons $c\sin \mathrm {B} ,\ c\cos \mathrm {B} ,\ c\cos \mathrm {B} -a\ ;$ cela fait, il